komplizierte DGL bzw. Integral

30.05.2011, 16:49

donvito

komplizierte DGL bzw. Integral

Meine Frage:
Hallo,

ich kriege folgende DGL nicht geknackt, obwohl sogar noch dabei steht wie man es machen soll...
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = \pm \sqrt{\frac{\frac{1}{2g\alpha ^2} - f}{f}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Man soll sie durch Trennung der Variablen lösen, dann das Integral durch Substitution von $\begin{eqnarray*} f = 1/(2 g \alpha ^2) sin^2(s/2) \end{eqnarray*}$
Als Integral erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{1}{2g\alpha ^2} - f}{f}}} df = \pm 1 dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier nun die Substitution durchführe, erhalte ich das Integral
$\begin{eqnarray*} 4 g \alpha ^2\int \frac{\text{Csc}[s]}{\sqrt{\text{Csc}[s/2]-1}} \, ds \end{eqnarray*}$

Was laut Tutor falsch ist. Der sagt es sollte ein Integral über [sin(s/2)]^2 rauskommen....

Kann mir jmd erklären, was ich heir falschgemacht habe smile

30.05.2011, 17:58

Mulder

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RE: komplizierte DGL bzw. Integral

Zitat:

Original von donvito
Kann mir jmd erklären, was ich heir falschgemacht habe

Ohne Zwischenschritte? Wie denn?

Ich komme auch auf sin²(s/2) (abgesehen von konstanten Vorfaktoren). Entscheidend ist, in der Wurzel dann mit dem trigonometrischen Pythagoras zu arbeiten, um dann das cos aus der Substitution des df wegkürzen zu können.

PS: Die Substitution ist ja ganz schön tricky. Freude

30.05.2011, 19:47

donvito

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Also hier mal ein Zwischenschritt:
$\begin{eqnarray*} \text{Simplify}\left[\frac{\frac{1}{2g \alpha {}^{\wedge}2}}{\frac{\text{Sin}[s/2]}{2 g \alpha {}^{\wedge}2}}\right] = Csc[s/2] \end{eqnarray*}$

Womit wir dann
$\begin{eqnarray*} \int \frac{4 g \alpha ^2 \text{Csc}[s]}{\sqrt{-1+\text{Csc}\left[\frac{s}{2}\right]}} \end{eqnarray*}$
berechnen müssen.

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{ds} = \frac{cos(s/2) sin(s/2)}{2 g \alpha ^2} \end{eqnarray*}$

Das muss man doch jetzt nach ds auflösen, gell?

30.05.2011, 19:56

Mulder

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Können wir nicht mal diesen nervigen csc rauslassen? Warum ist der da? Und "Simplify"?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{1}{2g\alpha ^2} - f}{f}}} \dd f = \pm 1 \dx \end{eqnarray*}$

Ich ersetze gemäß der Substitution mal nur das f gemäß $\begin{eqnarray*} f = \frac{1}{2g \alpha^2} \sin^2 \left (\frac{s}{2} \right ) \end{eqnarray*}$ links in der Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{1}{2g\alpha ^2} - \frac{1}{2g \alpha^2} \sin^2 \left ( \frac{s}{2} \right )}{\frac{1}{2g \alpha^2} \sin^2 \left ( \frac{s}{2} \right )}}} \, \dd f \end{eqnarray*}$

So, und mit $\begin{eqnarray*} f = \frac{1}{2g \alpha^2} \sin^2 \left (\frac{s}{2} \right ) \end{eqnarray*}$ ergibt sich doch für $\begin{eqnarray*} \dd f \end{eqnarray*}$ folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}{\dd s} = \frac{1}{2g \alpha^2}\sin \left ( \frac{s}{2} \right ) \cos \left ( \frac{s}{2} \right ) \end{eqnarray*}$

Das hattest du ja auch schon. Jetzt nur noch einsetzen und vereinfachen (deinen früheren Beiträgen nach zu urteilen dachte ich, die Integralsubstitution hättest du verstanden?). Das df ist noch zu ersetzen. In der Wurzel kannst du zudem vorher noch einiges kürzen.

30.05.2011, 21:50

donvito

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Oh mist, ich hatte das Quadrat des Sinus übersehen!

DANKE Gott

31.05.2011, 13:12

donvito

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Zitat:

Original von Mulder
Das hattest du ja auch schon. Jetzt nur noch einsetzen und vereinfachen (deinen früheren Beiträgen nach zu urteilen dachte ich, die Integralsubstitution hättest du verstanden?). Das df ist noch zu ersetzen. In der Wurzel kannst du zudem vorher noch einiges kürzen.

Kann ich eigentlich auch. Nur hier verwirrt mich total, dass ein einfacher Term (f) durch einen komplizierten ersetzt wird. Ich bin mir da total unsicher, nach was ich das df/ds dann auflösen muss.

Ich denke nach df und dann kann man das df in der alten Gleichung eben ersetzen.

Edit: Achsooo, man muss es quadrieren! Mir war nicht klar, dass man innerhalb eines Integrals einfach so quadrieren darf. Hmmm, aber dadurch kriege ich doch auch ein ds^2 ??

Ich habe jetzt das Integral vereinfacht zu Sin(s/2)/ (1- sin(s/2). Konstante Faktoren sind alle rausgefallen.

31.05.2011, 14:05

Mulder

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Da steht grober Unsinn. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{1}{2g\alpha ^2} - \frac{1}{2g \alpha^2} \sin^2 \left ( \frac{s}{2} \right )}{\frac{1}{2g \alpha^2} \sin^2 \left ( \frac{s}{2} \right )}}} \, \dd f = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{1- \sin^2 \left ( \frac{s}{2} \right )}{\sin^2 \left ( \frac{s}{2} \right )}}} \, \dd f = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{ \cos^2 \left ( \frac{s}{2} \right )}{\sin^2 \left ( \frac{s}{2} \right )}}} \, \dd f = \int \frac{1}{\frac{ \cos \left ( \frac{s}{2} \right )}{\sin \left ( \frac{s}{2} \right )}} \, \dd f = \int \frac{\sin \left ( \frac{s}{2} \right )}{\cos \left ( \frac{s}{2} \right )} \, \dd f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left [ \frac{\dd f}{\dd s} = \frac{1}{2g \alpha^2}\sin \left ( \frac{s}{2} \right ) \cos \left ( \frac{s}{2} \right ) \ \Rightarrow \ \dd f = \frac{1}{2g \alpha^2}\sin \left ( \frac{s}{2} \right ) \cos \left ( \frac{s}{2} \right ) \, \dd s \right ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \frac{\sin \left ( \frac{s}{2} \right )}{\cos \left ( \frac{s}{2} \right )} \cdot \frac{1}{2g \alpha^2}\sin \left ( \frac{s}{2} \right ) \cos \left ( \frac{s}{2} \right ) \, \dd s \end{eqnarray*}$

An deiner Aussage, dass du diese Substituition wirklich verstanden hast, hege ich doch leichte Zweifel. Ich weiß nicht, was dich daran so dermaßen irritiert. Klar ist das hier keine sonderliche naheliegende Substitution, wenn man darauf selbst kommen will, muss man schon ein gutes Auge haben. Aber deshalb stand sie ja auch als Anleitung dabei. Also rechne es doch einfach durch. Das schwierigste am Substitutionsverfahren ist doch, die (oder eine) passende Substitution zu finden. Wenn man die erst mal hat, ist der Rest nur noch stures Runterrechnen. Vorausgesetzt natürlich, man hat das Verfahren verstanden.

31.05.2011, 14:15

donvito

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Danke! Also mein Problem war nicht die Substitution, sondern was du da mit der Wurzel gemacht hast. Darauf bin ich nicht gekommen. Die Substitution habe ich genauso wie du.

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