Drehmatrix und Diagonalmatrix von A berechnen

30.05.2011, 17:11	Bina1206	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehmatrix und Diagonalmatrix von A berechnen Meine Frage: Hallo, ich soll zur Matrix $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Drehmatrix R und Diagonalmatrix D finden, so dass $\begin{eqnarray} D = RAR^{T}. \end{eqnarray}$ Ich habe zunächst die EW ausgerechnet, dazu die EV, diese normiert und daraus dann die Drehmatrix aufgestellt, während die Diagonalmatrix ja die EW auf der Hauptdiagonalen hat. Rausbekommen habe ich konkret: $\begin{eqnarray} \lambda_ {1} = 1; \end{eqnarray}$ (alg. VFH = 2) $\begin{eqnarray} \lambda_ {2} = 4 \end{eqnarray}$ EV zu $\begin{eqnarray} \lambda_ {1} = 1: v_{1}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ; v_{2}= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und zu $\begin{eqnarray} \lambda_ {2} = 4: v_{3}= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ normiert komme ich auf die Vektoren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2} } \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2} } \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2} } \\ \frac{1}{\sqrt{2} } \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2} } \\ \frac{1}{\sqrt{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist meine Drehmatrix doch $\begin{eqnarray} R = \begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2} } & \frac{-1}{\sqrt{2} } & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{2} } \\ \frac{1}{\sqrt{2} } & 0 & \frac{1}{\sqrt{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und meine Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich das nun einsetze und ausrechne, klappts aber nicht? Wäre dankbar für Fehlersuche oder Ansatzberichtigung Meine Ideen:
30.05.2011, 17:14	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
dein v3 stimmt nicht, das ist kein Eigenvektor! überprüf das nochmal! Gruß Johnsen
30.05.2011, 17:22	Bina1206	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohja der müsste (1,1,1) sein. Ich staune immer wieder wie schnell manche hier sind . Ist der Rest vom Prinzip her richtig?
30.05.2011, 17:54	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist $\begin{eqnarray} R = \begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2} } & \frac{-1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{3} } \\ \frac{1}{\sqrt{2} } & 0 & \frac{1}{\sqrt{3} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nur das Problem ist, das dies keine Drehmatrix ist, weil die Determinante nicht 1 ist!
30.05.2011, 17:57	Bina1206	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ja da war was. Aber wie geht es dann?
30.05.2011, 22:09	Bina1206	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt gelesen, dass die normierten Vektoren die Spaltenvektoren von R^-1 sind. Dann müsste man ja die Inverse berechnen und das wäre R. Das Problem ist, dass auch diese Matrix nicht die Determinante 1 hat. Kann mir keiner weiterhelfen?
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