Algebra der formalen Potenzreihen

30.05.2011, 17:13

Hamsterchen

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Algebra der formalen Potenzreihen

Hi,
ich hab hier folgende Aufgabe:

(Die [] bei $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ sollen eigentlich so ein Doppelstrich haben, geht hier aber nicht)

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper. Wie bei der Definition des Polynomrings können wir den $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum der Folgen in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ zu einer $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ machen, indem wir jede Folge $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k\geq 0}a_kX^k \end{eqnarray*}$ schreiben und die Multiplikation $\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k\geq 0}a_kX^k\right)\cdot\left(\sum\limits_{l\geq 0}b_lX^l\right):=\sum\limits_{s\geq 0}\left(\sum\limits_{k+l\geq s}a_kb_l\right)X^s \end{eqnarray*}$ einführen. Wir nennen $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ die Algebra der formalen Potenzreihen über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Offensichtlich ist diese kommutativ mit Eins.

(a) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ ist Integritätsbereich
(b) Einheiten von $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ bestimmen
(c) Primideale und maximale Ideale von $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ bestimmen
(d) Elemente des Quotientenkörpers von $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ beschreiben

So, habe leider noch keine Ansätze, wäre für jede Hilfe dankbar!

LG
Hamsterchen

30.05.2011, 17:18

zweiundvierzig

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Zu (a): Was ist denn noch zu prüfen, um zu sehen, dass ein Integritätsring vorliegt? Schreibe die zu prüfende Bedingung mal ausführlich auf.

Zu (b): Was ist die Eins in $\begin{eqnarray*} K[[X]] \end{eqnarray*}$ ? Wie kann man nun damit die Einheiten bestimmen?

Noch ein Hinweis: schreibe bitte aufgrund der Verwechslungsgefahr mit dem Polynomring $\begin{eqnarray*} K[[X]] \end{eqnarray*}$ .

30.05.2011, 17:25

Hamsterchen

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Hi,

also bei (a) müsste man wahrscheinlich nur noch zeigen, dass es nullteilerfrei ist? Also dass wenn ich 2 Elemente multipliziere und da 0 rauskommt, dass dann mind. eins der beiden Elemente die 0 ist.

bei (b) denke ich, dass wohl 1 die Eins ist? ^^ Also muss man für ein Element ein anderes finden, dass multipliziert 1 ergibt. Wahrscheinlich kommen dann nur die konstanten Elemente in Frage?

wegen der Schreibweise: Ich wollte eig \llbrackets nehmen, geht aber net =) Aber so wie du ist das auch gut ^^

Was ist denn der Unterschied zwischen dieser Definition und Polynomen???

edit:
Ich habe mal etwas gegoogelt und folgendes gefunden:
Ein Element ist genau dann eine Einheit, wenn sein konstanter Term eine Einheit ist. Die Richtung "f Einheit => a_0 Einheit" hab ich sogar verstanden, aber die Rückrichtung noch nicht so. Da wird so argumentiert:

Sei $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ eine Einheit. D.h. $\begin{eqnarray*} \exists b_0\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0b_0=1 \end{eqnarray*}$ . Dann kann ich, wenn ich die geklammert Summe oben rechts $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ setze auch schreiben:
$\begin{eqnarray*} c_n=\sum\limits_{k+l=n}a_kb_l \end{eqnarray*}$
Das ist ja klar. Aber dann wird da etwas von Rekursion und von bereits passend bestimmten $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ 's geredet. Kannst du mir das erklären?

30.05.2011, 17:47

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Hamsterchen
Was ist denn der Unterschied zwischen dieser Definition und Polynomen???

Polynome sind nur endliche Summen.

Zitat:

Original von Hamsterchen
also bei (a) müsste man wahrscheinlich nur noch zeigen, dass es nullteilerfrei ist? Also dass wenn ich 2 Elemente multipliziere und da 0 rauskommt, dass dann mind. eins der beiden Elemente die 0 ist.

Ja. Guck' Dir die zu zeigende Bedingung mal koeffizientenweise an.

Zitat:

Original von Hamsterchen
bei (b) denke ich, dass wohl 1 die Eins ist? ^^ Also muss man für ein Element ein anderes finden, dass multipliziert 1 ergibt. Wahrscheinlich kommen dann nur die konstanten Elemente in Frage?

Nein, es gibt wesentlich mehr Einheiten. Auch hier gilt mein Hinweis zur (a).

Edit: Wenn Du Dich auf eine externe Quelle beziehst, solltest Du sie zitieren und fragen stellen, die man konkret beantworten kann. Dennoch habe ich eine Ahnung, auf was die von Dir zitierte Lösung hinauswill, nämlich genau auf das, wohin Dich auch meine Hinweise führen sollten.

30.05.2011, 17:56

Hamsterchen

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ich habe das hier gefunden:
http://www.matheboard.de/archive/442433/thread.html

30.05.2011, 18:00

zweiundvierzig

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Dennis2010 hat es ja schon gut zusammengefasst. Nach Voraussetzung gilt $\begin{eqnarray*} c_0 =a_0b_0 \stackrel{!}{=} 1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} b_0 = a_0^{-1} \in K^\times \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht nun der Bildungsschritt für $\begin{eqnarray*} c_1,c_2 \stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$ aus?

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30.05.2011, 18:06

Hamsterchen

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ja ich hab mir das grad mal bissl ausführlicher aufgeschrieben, ich denke ungefähr so:

$\begin{eqnarray*} 1\stackrel{!}{=}c_0=a_0b_0 \Rightarrow b_0=a_0^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_1=a_1b_0+a_0b_1\stackrel{!}{=}0\Rightarrow b_1=-\frac{a_1b_0}{a_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_2=a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2\stackrel{!}{=}0\Rightarrow b_2=-\frac{a_1b_1+a_2b_0}{a_0} \end{eqnarray*}$

Ja und das kann man da natürlich mit n und dem Summenzeichen aufschreiben... dann wärs das doch schon für die (b) oder?

30.05.2011, 18:08

zweiundvierzig

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Ja, das ist der wesentliche Schritt. Man konstruiert die Koeffizienten rekursiv.

30.05.2011, 18:13

Hamsterchen

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ok cool, war ja dann doch weniger schwer als ich dachte.

ich habe mir jetzt noch ein paar gedanken zum integritätsbereich gemacht. Aber weiß jetzt nicht weiter.

Also mit den Bezeichnungen wie oben müsste für f*g=0 gelten, dass jedes $\begin{eqnarray*} c_n=0 \end{eqnarray*}$ ist damit dort 0 rauskommt. D.h. doch, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k+l=n}a_kb_l=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Muss ich jetzt nicht daraus irgendwie folgern, dass entweder alle $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ oder alle $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ 0 sind?

30.05.2011, 18:20

zweiundvierzig

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Nicht "entweder". Aber ansonsten hast Du recht, ja. Guck Dir am besten wieder die ersten paar Koeffizienten an.

30.05.2011, 18:21

Hamsterchen

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ja ich meinte eig. mindestens eins der beiden. wie ichs schon am anfang gesagt hatte.

ich überleg mal bissl... ^^

30.05.2011, 18:31

Hamsterchen

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sooo, bissl gegoogelt, bissl überlegt, bissl rumgeschrieben und ich hab jetzt folgendes:

also wenn wir annehmen, dass f nicht 0 ist, dann gibts auf jeden fall ein a_i, das nicht 0 ist. wenn wir uns das "erste" a_i nehmen, das nicht 0 ist, dann kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} 0=c_i=\sum\limits_{k+l=i}a_kb_l=a_ib_0\Rightarrow b_0=0 \end{eqnarray*}$

so dann sieht man sich diese summe an:
$\begin{eqnarray*} 0=c_{i+1}=\sum\limits_{k+l=i+1}a_kb_l=a_ib_1+a_{i+1}b_0=a_ib_1\Rightarrow b_1=0 \end{eqnarray*}$

und das kann man dann so weitermachen und es folgt, dass g 0 sein muss.
das ganze kann man aber doch nur folgern, weil die a's und b's aus einem körper kommen, oder?

30.05.2011, 18:44

zweiundvierzig

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Ja, die Rechnung und Begründung stimmen. An der Stelle reicht es bereits, wenn man nur einen Integritätsring zugrunde liegen hat.

30.05.2011, 18:48

Hamsterchen

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ja das stimmt, das meinte ich auch eig, aber weil wir ja eh nen körper haben hab ich halt auch körper gesagt =)

so nun weiß ich leider gar nicht mehr weiter... wie kann ich mir denn ein Ideal in $\begin{eqnarray*} K[[X]] \end{eqnarray*}$ vorstellen? Und wie geht man das am besten an?

30.05.2011, 19:26

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Hamsterchen
wie kann ich mir denn ein Ideal in $\begin{eqnarray*} K[[X]] \end{eqnarray*}$ vorstellen?

Gar nicht so schwer, es ist nämlich $\begin{eqnarray*} K[[X]] \end{eqnarray*}$ ein Hauptidealring. Damit lässt sich (c) auch schnell erledigen.

Zeige dazu zunächst, dass eine formale Potenzreihe $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (X^n) \end{eqnarray*}$ für einen geeigneten Exponenten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ liegt.

30.05.2011, 19:45

Hamsterchen

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woher weiß ich, dass das ein Hauptidealring ist???

sehe ich das richtig, dass $\begin{eqnarray*} (X^n)=\{g\cdot X^n\mid g\in K[[X]]\} \end{eqnarray*}$ , also für $\begin{eqnarray*} g=\sum\limits_{l\geq 0}b_lX^l \end{eqnarray*}$ ist das dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l\geq 0}b_lX^{l+n} \end{eqnarray*}$ ???

und dann muss ich zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} f=\sum\limits_{k\geq 0}a_kX^k \end{eqnarray*}$ so ein n gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f=\sum\limits_{l\geq 0}b_lX^{n+l} \end{eqnarray*}$ ??

Hmmm aber irgendwie is das komisch ^^

30.05.2011, 19:50

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Hamsterchen
sehe ich das richtig, dass $\begin{eqnarray*} (X^n)=\{g\cdot X^n\mid g\in K[[X]]\} \end{eqnarray*}$ , also für $\begin{eqnarray*} g=\sum\limits_{l\geq 0}b_lX^l \end{eqnarray*}$ ist das dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l\geq 0}b_lX^{l+n} \end{eqnarray*}$ ???

Ja, Du hast die Definition richtig angewendet. Der Hinweis mit dem Hauptidealring steht zwar nicht in der Aufgabe, aber ich halte es für sinnvoll, sie so zu lösen.

Wir betrachten ein $\begin{eqnarray*} f = \sum_{k \geq n} a_k X^k \end{eqnarray*}$ mit dem minmalen $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wie können wir dann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ noch schreiben?

30.05.2011, 19:58

Hamsterchen

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also entweder $\begin{eqnarray*} f=\sum\limits_{k\geq 0}a_{k+n}x^{k+n} \end{eqnarray*}$ oder für andere Koeffizienten $\begin{eqnarray*} f=\sum\limits_{k\geq 0}a'_kx^{k+n}=\sum\limits_{k\geq 0}b_kx^{k+n}=(\sum\limits_{k\geq 0}b_kx^k)x^n \end{eqnarray*}$ meinst du sowas?

30.05.2011, 20:00

zweiundvierzig

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Naja, wir wollen am Ende zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einem Ideal liegt, das von einer Potenz von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ erzeugt wird. Dazu gibt es im Grunde nur einen naheliegenden nächsten Schritt...

30.05.2011, 20:03

Hamsterchen

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naja wenn wir $\begin{eqnarray*} g:=\sum\limits_{l\geq 0}b_lx^l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_l=a_{l+n} \end{eqnarray*}$ setzen, dann haben wir doch f mit einer potenz von X und einem Element aus K[[x]] erzeugt, oder???

30.05.2011, 20:14

zweiundvierzig

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Ja, das kannst Du aber auch einfach als $\begin{eqnarray*} f = X^n \sum_{k \geq n} a_k X^{k - n} \end{eqnarray*}$ schreiben. smile

smile

Wieso ist damit tatsächlich jedes Ideal ein Hauptideal?

30.05.2011, 20:23

Hamsterchen

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hmmm weiß nicht. wieso?

30.05.2011, 20:59

zweiundvierzig

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Sei $\begin{eqnarray*} I \subset K[[X]] \end{eqnarray*}$ ein Ideal. Welchen einzelnen Erzeuger kann man nehmen?

30.05.2011, 21:25

Hamsterchen

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x^n?

kurze frage: könntest du kurz über meinen anderen thread drüberschauen? ist das mit den irreduziblen polynomen =)

30.05.2011, 21:26

zweiundvierzig

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Dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat zu einem beliebig gewählten Ideal doch erstmal keinen Bezug...

30.05.2011, 21:36

Hamsterchen

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hmmm sry weiß es nicht. für ein Ideal gilt doch nur dass $\begin{eqnarray*} RI\subset R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} IR\subset R \end{eqnarray*}$ ist oder???

30.05.2011, 21:38

zweiundvierzig

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Ja, sicher, aber das ist zu unkonkret für das aktuelle Problem.

Wir betrachten ein beliebiges Ideal, das irgendwelche Potenzreihen als Erzeuger hat, potentiell unendlich viele. Wie schaffen wir es, mit dem eben angewnedeten Trick einen einzigen Erzeuger zu finden?

30.05.2011, 21:51

Hamsterchen

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vielleicht kann man für jeden erzeuger ein n finden, sodass dieser erzeuger von x^n erzeugt wird? und da x^n ja auch immer ein element aus K[[x]] ist, kann man es vielleicht durch ein anderes x^m erzeugen usw...???
also wenn du verstehst, was ich meine ^^ is aber bestimmt eh falsch -.- aber was anderes fällt mir jetzt nicht ein, sry...

30.05.2011, 21:59

zweiundvierzig

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Die Idee ist schon nicht schlecht. Betrachten wir z.B. den Fall, dass $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ von irgendwelchen Potenzen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ erzeugt wird. Was ist hier der geeignete Erzeuger? (vgl. oben)

30.05.2011, 22:03

Hamsterchen

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vielleicht als potenz das kgv der potenzen??? dann könnte man doch jedes durch ein anderes darstellen?

30.05.2011, 22:04

zweiundvierzig

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Und was ist das kgV in diesem Fall?

30.05.2011, 22:07

Hamsterchen

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ähm, es sind doch bel. potenzen, woher soll ich das denn wissen????^^

30.05.2011, 22:10

zweiundvierzig

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Das kgV funktioniert in diesem Fall eben auch nicht. Betrachte mal als Beispiel $\begin{eqnarray*} (X^2, X^4, X^6, \ldots...) \end{eqnarray*}$ . Wie kann man das als Hauptideal schreiben?

30.05.2011, 22:13

Hamsterchen

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ach man ich steh mal wieder toooootal aufm schlauch ^^ muss auch gleich schlafen (nur 4,5 std schlaf gehabt und seit 5uhr wach -.- )

30.05.2011, 22:43

zweiundvierzig

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Dann schlaf vielleicht lieber noch eine Nacht über die Aufgabe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.05.2011, 11:23

Hamsterchen

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hi
also ähm wird das denn nicht von x^6 erzeugt???

also $\begin{eqnarray*} x^2=x^6\cdot x^{2-6}, x^4=x^6\cdot x^{4-6}, x^6=x^6 \end{eqnarray*}$ aber darf man denn negative potenzen haben???

oder man macht es andersrum, dass x^2 ein erzeuger ist???

31.05.2011, 13:07

zweiundvierzig

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Per Definition liegen im Ring der Potenzreihen keine negativen Potenzen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Hamsterchen
oder man macht es andersrum, dass x^2 ein erzeuger ist???

Ja, richtig.

31.05.2011, 15:33

Hamsterchen

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ah endlich ^^
aber was ist, wenn I nicht nur von irgendwelchen x^n erzeugt wird?
kann ich dann sowas sagen wie dass jedes dieser elemente ein x^n als erzeuger hat und dann nimmt man sich das kleinste???

31.05.2011, 15:36

zweiundvierzig

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Ja, das ist grob gesagt die Idee. Es ist nur falsch, von "Erzeugern eines Elements" zu sprechen.

Wir hatten oben gesehen, dass jede formale Potenzreihe $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sich schreiben lässt als $\begin{eqnarray*} f = X^n \cdot g \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} g \in (K[[X]])^\times \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ein geeigneter Exponent ist. Eine solche Darstellung kriegt man für jedes Element aus der Menge der Erzeuger und insgesamt wählt man dann den dasjenige $\begin{eqnarray*} X^k \end{eqnarray*}$ mit minimalem Exponenten.

31.05.2011, 15:39

Hamsterchen

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ok das klingt einleuchtend. aber wie bestimmt man nun die primideale und die maximalen ideale?

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