Münzwurfparadox

30.05.2011, 17:15

Gast11022013

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Münzwurfparadox

Meine Frage:
Münzwurfparadox
Anton sagt zu Brigitte: "Du denkst Dir zwei zufällige ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} X,Y\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X<Y \end{eqnarray*}$ . Dann wirfst Du eine faire Münze. Wenn sie Zahl zeigt, nennst Du mir Y, andernfalls X. Ich muss dann raten, ob die Münze Zahl oder Wappen gezeigt hat. Wenn ich richtig rate, zahlst Du mir 100 Euro, sonst kriegst Du 100 Euro von mir."

Soll sich Brigitte auf das Spiel einlassen? (Immerhin steht es ihr ja frei, gemäß welcher Verteilung $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ sie $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ wählen will und die Chancen, das Ergebnis des Münzwurfs richtig zu raten, stehen doch wohl bestensfalls 50:50.)

Betrachten Sie dazu folgende Ratestrategie von Anton:
Anton wählt zuerst eine Zähldichte $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha(k)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und wählt danach eine zufällige Zahl $\begin{eqnarray*} Z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit Verteilung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Er tippt auf "Münze hat Zahl gezeigt", wenn die von Brigitte genannte Zahl größer oder gleich $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ist, ansonsten auf "Wappen". Präzisieren Sie das stochastische Modell und berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton bei gegebenem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .

(5 Punkte)

Meine Ideen:
Ich finde diese Aufgabe sehr schwierig und habe da bisher noch absolut keine Idee. Kann mir jemand bitte helfen?

30.05.2011, 17:22

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Immerhin steht es ihr ja frei, gemäß welcher Verteilung $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ sie $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ wählen wil

Für mich stellt sich da die Frage, ob auch Anton Kenntnis von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ hat?

Wie auch immer, für diesen Teil der Aufgabe

Zitat:

Original von Dennis2010
Anton wählt zuerst eine Zähldichte $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha(k)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und wählt danach eine zufällige Zahl $\begin{eqnarray*} Z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit Verteilung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Er tippt auf "Münze hat Zahl gezeigt", wenn die von Brigitte genannte Zahl größer oder gleich $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ist, ansonsten auf "Wappen". Präzisieren Sie das stochastische Modell und berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton bei gegebenem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .

ist diese Nachfrage in der Tat nicht wichtig.

30.05.2011, 17:27

Gast11022013

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Ich weiß gar nicht, wo ich bei dieser Aufgabe eigentlich anfangen muss.

Das ist so ein Wirrwarr - finde ich.

Edit:

Vielleicht sich erstmal - wie Anton - irgendeine Zähldichte auf den ganzen Zahlen ausdenken?

Vielleicht

$\begin{eqnarray*} p(k)=0,3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq k\leq 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(k)=0,4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 8\leq k\leq 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(k)=0,3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 21 \end{eqnarray*}$ .

Und dann eine zufällige ganze Zahl wählen, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} Z=16 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p(16)=0,4 \end{eqnarray*}$ .

30.05.2011, 17:46

René Gruber

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Eigentlich musst du nur die Ruhe bewahren und alles ordentlich zusammentragen. Also gut, hier eine Strategieskizze:

Zunächst noch die eine oder andere Benennung: Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ das Ereignis, dass Brigitte Zahl wirft (Z war leider schon belegt Augenzwinkern

Augenzwinkern

), außerdem sein $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Zahl, die Brigitte dann im Ergebnis Anton mitteilt. Dann wissen wir wegen der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( B = b \bigm| M) = P(Y = b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( B = b \bigm| M^c) = P(X = b) \end{eqnarray*}$

beides lässt sich für festes $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit Verteilung $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ berechnen. Weiter geht es mit der Berechnung von $\begin{eqnarray*} P(B > Z \bigm| M) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(B > Z \bigm| M^c) \end{eqnarray*}$ , diesmal unter Einbeziehung von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Schließlich und endlich lautet die Gewinnwahrscheinlichkeit für Anton

$\begin{eqnarray*} p_A = P(([B>Z] \cap M) \cup ([B\leq Z] \cap M^c)) \end{eqnarray*}$ ,

die sich nach den Vorarbeiten dann auch berechnen lassen. Wird natürlich auf irgendwelche Doppel- oder gar Dreifachsummen hinauslaufen, aber ist ja egal und bei derart allgemein gehaltenen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ auch erstmal nicht zu ändern.

30.05.2011, 18:04

Gast11022013

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Also wenn ich das korrekt verstanden habe, hat einmal Brigitte eine Zähldichte, nämlich $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und Anton hat auch eine Zähldichte, nämlich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

Wobei ich mal davon ausgehe, dass Brigitte und Anton jeweils ihre Zähldichten" für sich" behalten.

Nun kann man - vorausgesetzt, $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ wäre bekannt - die bedingten Wahrscheinlichkeiten ausrechen, die Du zuerst notiert hast.

Und mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kann man berechnen, wie die Wahrhscheinlichkeiten für
$\begin{eqnarray*} B>Z \end{eqnarray*}$ (jeweils bzgl. Zahl geworfen und Wappen geworfen) und
$\begin{eqnarray*} B\leq Z \end{eqnarray*}$ (jeweils bzgl. Zahl geworfen und Wappen geworfen)

sind.

Wie das nun zusammenkommt, habe ich noch nicht verstanden.

30.05.2011, 18:41

Gast11022013

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Zitat:

Original von René Gruber
Eigentlich musst du nur die Ruhe bewahren und alles ordentlich zusammentragen. Also gut, hier eine Strategieskizze:

Zunächst noch die eine oder andere Benennung: Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ das Ereignis, dass Brigitte Zahl wirft (Z war leider schon belegt Augenzwinkern

Augenzwinkern

), außerdem sein $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Zahl, die Brigitte dann im Ergebnis Anton mitteilt. Dann wissen wir wegen der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( B = b \bigm| M) = P(Y = b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( B = b \bigm| M^c) = P(X = b) \end{eqnarray*}$

Was sind das für Wahrscheinlichkeiten?
Das erste die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Brigitte Zahl geworfen hat und dass die Zahl, die sie Anton mitteilt (nämlich nach den Regeln Y) die Zahl b ist.

Nur: Welche Wahrscheinlichkeit ist das denn, die der Zahl b zugeordnet wird?

Die gleiche Frage habe ich für den Fall, dass Brigitte Wappen wirft und also X mitteilt.

Zitat:

beides lässt sich für festes $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit Verteilung $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ berechnen. Weiter geht es mit der Berechnung von $\begin{eqnarray*} P(B > Z \bigm| M) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(B > Z \bigm| M^c) \end{eqnarray*}$ , diesmal unter Einbeziehung von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Schließlich und endlich lautet die Gewinnwahrscheinlichkeit für Anton

$\begin{eqnarray*} p_A = P(([B>Z] \cap M) \cup ([B\leq Z] \cap M^c)) \end{eqnarray*}$ ,

die sich nach den Vorarbeiten dann auch berechnen lassen. Wird natürlich auf irgendwelche Doppel- oder gar Dreifachsummen hinauslaufen, aber ist ja egal und bei derart allgemein gehaltenen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ auch erstmal nicht zu ändern.

Das ist Antons Gewinnwahrscheinlichkeit, okay.

Aber wo benutzt man hier das Obige? Also das mit B=b?

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30.05.2011, 18:49

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Das erste die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Brigitte Zahl geworfen hat und dass die Zahl, die sie Anton mitteilt (nämlich nach den Regeln Y) die Zahl b ist.

Nein: Was da steht, ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, und ist dementsprechend dann auch zu formulieren.

Zitat:

Original von Dennis2010
Nur: Welche Wahrscheinlichkeit ist das denn, die der Zahl b zugeordnet wird?

Muss ich mich wiederholen? Das ist mit $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ formulierbar, natürlich nicht gänzlich ohne Überlegung.

30.05.2011, 19:00

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist doch die Zähldichte, die Brigitte zugrunde legt für ihre Zahlen - oder?.

Aber $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ kennt man doch gar nicht.

Ich sehe einfach den roten Faden nicht, der sich durch die Aufgabe zieht.

30.05.2011, 19:04

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Aber $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ kennt man doch gar nicht.

Was einen nicht hindert, es trotz Unkenntnis formelmäßig zu verwenden. Ich erinnere mal an die Aufgabenstellung:

Zitat:

Original von Dennis2010
Präzisieren Sie das stochastische Modell und berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton bei gegebenem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß jetzt nicht, was ich noch tun soll, außer die obige Grobstrategie mit detaillierten Rechnungen zu erfüllen - was ich nicht tun werde. unglücklich

unglücklich

30.05.2011, 19:08

Gast11022013

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Vielleicht die Lösungsskizze in Worten kurz erklären, was man macht...

Denn, wie gesagt, ich sehe den Zusammenhang der Rechnungen nicht.

30.05.2011, 19:15

René Gruber

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(Vergiss es, offensichtlich sprechen wir keine gemeinsame Sprache.)

30.05.2011, 19:19

Gast11022013

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Das sollen doch keine Beleidigungen sein, entschuldigung, wenn das so wirkt!

Ich meinte einfach nur, dass eine Erklärung in Worten vielleicht helfen könnte, dass ich auch verstehe, was da in Formelsprache steht.

Zum Beispiel verstehe ich eben nicht, was man mit $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und was man mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ berechnet bzw., warum man da trennt.

30.05.2011, 19:27

René Gruber

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$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist als Verteilung von $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ benannt. Das würde ich so verstehen, dass es ebenfalls eine Zähldichte ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \beta(x,y)= P(X=x,Y=y) \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten muss ich nach diesem Satz hier

Zitat:

Original von Dennis2010
Ich sehe einfach den roten Faden nicht, der sich durch die Aufgabe zieht.

kapitulieren: M.E. habe ich einen dicken roten Faden gelegt, und wenn du den nicht siehst bzw. zu sehen bereit bist, dann bin ich offenbar ein unfähiger Erklärer.

30.05.2011, 19:28

Gast11022013

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Okay, dann möchte ich Dich nicht weiter stören und bedanke mich für die Hilfe.

30.05.2011, 20:54

Gast11022013

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RE: Münzwurfparadox
Ach, menno, irgendwie wurmt mich das, dass ich diese Aufgabe nicht begreifen kann. Kann doch nicht soo schwer sein...

Also... nach Antons Ratestrategie hat er ja in folgenden Fällen gewonnen:

Brigitte hat Zahl geworfen, die Zahl, die sie nennt (Y) ist größer oder gleich der Zahl Z.

Brigitte hat Wappen geworfen, die Zahl, die sie nennt (X) ist kleiner als die Zahl Z.

Um diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, braucht man $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und anscheinend auch $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ .

Aber wo kommt hier $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ins Spiel?

31.05.2011, 09:50

Huggy

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RE: Münzwurfparadox
@ Dennis2010

Die Darstellung der Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton als Funktion der beiden Zähldichten $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ kann ich ganz gewiss nicht besser erklären als es René Gruber getan hat. Deshalb versuche ich das erst gar nicht.

Man sollte aber auch versuchen, das raffinierte Prinzip dieser Aufgabe zu verstehen, was praktisch ohne Mathematik möglich ist.

Wenn man die überflüssige Münze weglässt, sieht die Aufgabe so aus: Brigitte wählt die beiden Zahlen X und Y und nennt eine davon zufällig mit jeweils 50 % Wahrscheinlichkeit. Jetzt wählt Anton seine Zahl Z. Ist Z kleiner oder gleich der genannten Zahl, sagt er Brigitte habe die größere Zahl genannt. Andernfalls sagt er, Brigitte habe die kleinere Zahl genannt.

Wie sieht die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton bei gegebenem X und Y aus? Ist $\begin{eqnarray*} Z \leq X \end{eqnarray*}$ , sagt er, Brigitte habe die größere Zahl genannt. Da Brigitte X und Y mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählt, ist seine Gewinnchance in diesem Fall 50 %. Ist $\begin{eqnarray*} Z > Y \end{eqnarray*}$ , sagt er, Brigitte habe die kleinere Zahl genannt. Wieder gewinnt er mit 50 % Wahrscheinlichkeit.

Nun kommt der entscheidende Teil. Was ist bei $\begin{eqnarray*} X < Z \leq Y \end{eqnarray*}$ ? Egal, ob Brigitte X oder Y genannt hat, die Ausage von Anton ist dann immer richtig! Da die Zähldichte von Anton nirgends Null sein soll, ist $\begin{eqnarray*} P(X < Z \leq Y)>0 \end{eqnarray*}$ . Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton ist deshalb insgesamt größer als 50 %. Das kann Brigitte mit keiner noch so raffiniert gewählten Zähldichte verhindern.

31.05.2011, 10:06

Gast11022013

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RE: Münzwurfparadox

Zitat:

Original von Huggy
@ Dennis2010

Die Darstellung der Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton als Funktion der beiden Zähldichten $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ kann ich ganz gewiss nicht besser erklären als es René Gruber getan hat. Deshalb versuche ich das erst gar nicht.

Ich weiß, dass das gut erklärt war.

Ich sehe ja auch nur nicht, dass bzw. wie die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ abhängt. Wo ist der alpha- und wo der beta-Anteil.

Zitat:

Original von Huggy
Man sollte aber auch versuchen, das raffinierte Prinzip dieser Aufgabe zu verstehen, was praktisch ohne Mathematik möglich ist.

Wenn man die überflüssige Münze weglässt, sieht die Aufgabe so aus: Brigitte wählt die beiden Zahlen X und Y und nennt eine davon zufällig mit jeweils 50 % Wahrscheinlichkeit. Jetzt wählt Anton seine Zahl Z. Ist Z kleiner oder gleich der genannten Zahl, sagt er Brigitte habe die größere Zahl genannt. Andernfalls sagt er, Brigitte habe die kleinere Zahl genannt.

Wie sieht die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton bei gegebenem X und Y aus? Ist $\begin{eqnarray*} Z \leq X \end{eqnarray*}$ , sagt er, Brigitte habe die größere Zahl genannt. Da Brigitte X und Y mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählt, ist seine Gewinnchance in diesem Fall 50 %. Ist $\begin{eqnarray*} Z > Y \end{eqnarray*}$ , sagt er, Brigitte habe die kleinere Zahl genannt. Wieder gewinnt er mit 50 % Wahrscheinlichkeit.

Nun kommt der entscheidende Teil. Was ist bei $\begin{eqnarray*} X < Z \leq Y \end{eqnarray*}$ ? Egal, ob Brigitte X oder Y genannt hat, die Ausage von Anton ist dann immer richtig! Da die Zähldichte von Anton nirgends Null sein soll, ist $\begin{eqnarray*} P(X < Z \leq Y)>0 \end{eqnarray*}$ . Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton ist deshalb insgesamt größer als 50 %. Das kann Brigitte mit keiner noch so raffiniert gewählten Zähldichte verhindern.

Vielen Dank, das ist mir klar geworden.
Brigitte sollte sich also nicht auf das Spiel einlassen.

01.06.2011, 12:38

Gast11022013

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Darf ich bitte nochmal eine Nachfrage stellen, denn ich möchte diese Aufgabe wirklich gerne lösen.

Also, was ich verstanden habe, ist Folgendes:

Nach Antons Lösungsstrategie, die die Aufgabe schildert, hat Anton in zwei Fällen gewonnen:

1.) Brigitte nennt ihm eine Zahl (hier B genannt), die größer oder gleich der Zahl Z ist und Brigitte hatte Zahl geworfen. Formal: $\begin{eqnarray*} (B\geq Z)\cap M \end{eqnarray*}$

2.) Brigitte nennt ihm eine Zahl, die kleiner ist als die Zahl Z, die Anton sich gedacht hat und Brigitte hatte Wappen geworfen. Formal: $\begin{eqnarray*} (B<Z)\cap M^{C} \end{eqnarray*}$

Wenn man 1.) und 2.) zusammennimmt, dann ist Antons Wahrscheinlichkeit zu gewinnen:

$\begin{eqnarray*} P(([B\geq Z]\cap M)\cup ([B<Z]\cap M^{C})) \end{eqnarray*}$

René Gruber hatte oben das etwas anders geschrieben, nämlich

$\begin{eqnarray*} p_A = P(([B>Z] \cap M) \cup ([B\leq Z] \cap M^c)) \end{eqnarray*}$ ,

aber ich glaube, das, was hier in den eckigen Klammern steht, ist nicht ganz korrekt laut der Strategie von Anton.

Okay, diesen Teil kann ich nachvollziehen.

Doch ich verstehe nicht, was das nun zu tun hat mit:

1. $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} P( B = b \bigm| M) = P(Y = b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( B = b \bigm| M^c) = P(X = b) \end{eqnarray*}$

Vielleicht erbarmt sich nochmal jemand und erklärt es mir?

Edit:

Also ich schreibe einfach mal meine Überlegungen auf, auch auf die Gefahr hin, dass ich wieder mal völlig daneben liege.

Man hat also:

$\begin{eqnarray*} P(([B\geq Z]\cap M)\cup ([B<Z]\cap M^{C})) \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass die Ereignisse jeweils unabhängig sind. Daher würde ich denken:

$\begin{eqnarray*} =P(B\geq Z)P(M)+P(B<Z)P(M^{C}) \end{eqnarray*}$ [Ob das + stimmt, weiß ich nicht.]

Es müsste $\begin{eqnarray*} P(M)=P(M^{C})=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gelten. Bleiben noch $\begin{eqnarray*} P(B\geq Z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B<Z) \end{eqnarray*}$ zu klären:

$\begin{eqnarray*} P(B\geq Z)=P(B=Z)+P(B>Z) \end{eqnarray*}$

Der erste Summand $\begin{eqnarray*} P(B=Z) \end{eqnarray*}$ hat jetzt meiner Meinung nach irgendwas mit der Verteilung $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ von Brigitte zu tun, denn B=Z bedeutet ja, dass entweder X=Z oder Y=Z (je nachdem, welche ihrer Zahlen Brigitte Anton hier mitteilt).

Und der zweite Summand hat vielleicht mit der Verteilung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ von Anton zu tun.

verwirrt

verwirrt

01.06.2011, 15:58

Gast11022013

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Kann nicht bitte jemand helfen und auf meine letzte Antwort reagieren?
Ich werd gleich irre an dieser blöden Aufgabe. unglücklich

unglücklich

01.06.2011, 18:12

Gast11022013

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Noch ein verzweifelter Versuch:

$\begin{eqnarray*} P(([B\geq Z]\cap M)\cup ([B<Z]\cap M^{C})) \end{eqnarray*}$

Vielleicht:

$\begin{eqnarray*} = P(B\geq Z)P(M)+P(B<Z)P(M^{C}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =((P(B=Z))+P(B>Z))\frac{1}{2}+P(B<Z)\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}(\sum_{B>Z} \alpha(B)+\sum_{Z\in \mathbb Z} \beta(Z))+\frac{1}{2}\sum_{B<Z}\alpha(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\cdot (\sum_{B>Z}\alpha(B)+\sum_{Z\in \mathbb Z}\beta(Z)+\sum_{B<Z}\alpha(B)) \end{eqnarray*}$

traurig

traurig

Edit:

Oder muss ich $\begin{eqnarray*} 2\cdot P(B=Z) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2\sum_{Z\in \mathbb Z}\beta(Z) \end{eqnarray*}$ rechnen, weil B kann ja X und kann auch Y sein.

Ich käme dann darauf, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \underbrace{(P(B<Z)+2\cdot P(B=Z)+P(B>Z))}_{>1} \end{eqnarray*}$

Und da müsste etwas herauskommen, das größer als 0,5 ist.

Demnach wäre Antons Gewinnwahrscheinlichkeit über 50 % und Brigitte sollte das Spiel wohl nicht eingehen.

01.06.2011, 20:49

Gast11022013

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Ein bisschen komisch kommt mir meine Rechnung ja schon vor...

verwirrt

verwirrt

Naja, ich warte jetzt einfach mal auf eine Reaktion von Euch.

02.06.2011, 09:32

Huggy

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Sei $\begin{eqnarray*} F(z) \end{eqnarray*}$ die zur Zähldichte $\begin{eqnarray*} \alpha (z) \end{eqnarray*}$ gehörende Verteilungsfunktion, also

$\begin{eqnarray*} F(z)=\sum_{t \leq z} \alpha (t) \end{eqnarray*}$

Dann ist nach meinem vorigen Beitrag die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton bei gegebenem Zahlenpaar (x, y) mit x < y

$\begin{eqnarray*} G(A|(x, y))=\frac{1}{2}F(x)+\frac{1}{2}(1-F(y))+(F(y)-F(x))=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(F(y)-F(x)) \end{eqnarray*}$

Die totale Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton ist

$\begin{eqnarray*} G(A)=\sum_{x, y} G(A|(x, y))\beta (x,y)=\sum_{x<y} G(A|(x, y))\beta (x,y) \end{eqnarray*}$

Also hat man

$\begin{eqnarray*} G(A)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sum_{x<y} (F(y)-F(x)) \beta (x, y)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{x<y} \beta (x, y) \left ( \sum_{x<t \leq y}\alpha(t) \right ) \end{eqnarray*}$

02.06.2011, 10:49

Gast11022013

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Wow, dankeschön.

Ich danke Dir. Gott

Gott

Bevor ich jetzt wieder reichlich dumme Nachfragen dazu stelle, versuche ich diesmal erst, es wirklich gut zu verstehen und stelle dann meine Fragen.

07.06.2011, 21:51

Gast11022013

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Nochmal eine kleine "Formulierungsfrage" zu Deinem letzten Beitrag, Huggy.

Kann es sein, dass die Bezeichnung "Verteilungsfunktion" vielleicht nicht soooo passend ist? Denn das sagt man doch eigentlich nur bei reellen bzw. stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßen. Aber hier hat man doch ein abzählbares Wahrscheinlichkeitsmaß bzw. diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß, weswegen auch von Zähldichte die Rede ist und nicht von Dichtefunktion oder Dichte.

Vielleicht gibt es eine passendere Bezeichnung für F(z)?

Ich meine inhaltlich ändert sich ja nix. F ist halt sie Summe der einzelnen $\begin{eqnarray*} \alpha(t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\leq z \end{eqnarray*}$ .

Ist also nur eine Formulierungsssache, aber ich frage trotzde mal nach.

Kann ja auch sein, dass ich mich irre und die Bezeichnung absolut okay ist.

08.06.2011, 09:18

Huggy

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Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X ist für stetige und diskrete Zufallsgrößen in gleicher Weise definiert:

$\begin{eqnarray*} F_X(x)=P(X\leq x) \end{eqnarray*}$

Das passt also. Der Unterschied ergibt sich erst bei den 'Dichten'.

08.06.2011, 12:26

Gast11022013

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Okay, danke. Das war mir nicht klar.

Dann nehme ich natürlich alles zurück.

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