Halbwertszeit über lineare regression eines exponentiellen Zerfalles |
| 30.05.2011, 18:08 | Blooopsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Halbwertszeit über lineare regression eines exponentiellen Zerfalles Hallo Ihr Lieben, ich brauche dringend Hilfe. Ich versuche die Halbwertszeit eines exponentiellen Zerfalls über ein lineare Regression über logarithmierte Daten heraus zu finden. Ich habe hierbei schon einiges durchprobiert. Wenn nur die y-Achse logarithmiert ist scheint das Problem relativ einfach zu sein. Ich berechne einfach ln(y(t))=ln(y0)-lambda t +ln s0 Hier gehts es allerdings schon los wie das s0 zu werten ist, wenn ich es vorher nicht weiß. Ist dann die lineare regression überhaupt möglich? Auf jeden fall sollte sich dann ja die halbwertszeit über tau=ln(2)/lambda, also meine gefittete Steigung ergeben. Spielt hier aber die Konstante s0 eine Rolle? Und wie verhält es sich wenn ich doppelt logarithmische Skalen habe? Denn dann bekomme ich ja mehr oder minder eine Zerfallskonstante, die nicht mehr 1/min sondern 1/ln(min) als Einheit hat. Komme ich von dort wieder irgendwie auf 1/min zurück um dann die Halbwertszeit in min ausrechnen zu können? Falls ihr euch fragt, warum ich das überhaupt tun will: Ich benutze statistical parametric mapping. Dieses arbeitet leider nur mit dem general linear model, deswegen versuche ich nun, meine Daten in die richtige Form zu bringen. Logarithmiert sind sie schon, ich habe es auch schon ausprobiert, bekomme allerdings seltsame Werte, die so nicht sein können (z.B. Halbwertszeiten von 23 Wochen, die eigentlich bei ca. 1 Woche liegen sollte.) Ich habe auch alles schon mal mit einem exponentiellen Fit probiert, wo alles wunderbar klappt, hier habe ich nur das Problem, dass ich mit mean Werten rechne und somit keine Standardabweichungen berücksichtigt werden, daher die Idee mit SPM (Software für functional imaging) zu arbeiten. Es wär wirklich Klasse, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte. Meine Ideen: Zur Berechnung der Halbwertszeit aus doppelt logarithmischer Skala, fällt mir eigentlich nur ein, irgendwie die Exponentialfunktion wieder ins Spiel zu bringen, weiß aber nicht genau wie. |
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| 30.05.2011, 22:55 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Halbwertszeit über lineare regression eines exponentiellen Zerfalles
Willst du die Halbwertszeit aus der gegebenen Zeitreihe bestimmen? |
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| 31.05.2011, 09:26 | Blooopsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Halbwertszeit über lineare regression eines exponentiellen Zerfalles Ja, genau, ich habe praktisch zu jedem Zeitpubkt, mehrere Datenpunkte, die er dann letztendlich unterBerücksichtigung der Varianz zu jedem Zeitpunkt fittet. |
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| 31.05.2011, 12:16 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du zu jedem Zeitpunkt t mehrere Werte hast, dann bilde für jeden einzelnen Zeitpunkt jeweils den Mittelwert. Somit erhältst du die Wertepaare . Dafür suchst du die "beste" Funktion . Keinesfalls darf man für dieses Problem direkt die Methode der kleinsten Quadrate anwenden, weil dann die Fehler für verschiedene Zeiten gleichberechtigt eingingen. Genaus das wäre Unsinn, denn die Funktion klingt exponentiell stark ab, so dass die Fehler für verschiedene Zeiten mit unterschiedlichem Gewicht eingehen sollen. Man führt die Sache auf die lineare Regression zurück, indem man die y-Werte logarithmiert. Das ergibt folgende neue Wertepaare . Nun logarithgmiert man auch die obige Gleichung und erhält wie gewünscht eine Geradengleichung Dafür kannst du wie üblich die lineare Regression verwenden und erhätst so die "besten" Werte und . Damit ist auch die oben gesuchte Exponentialfunktion festgelegt. |
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| 31.05.2011, 13:44 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Ehos Der Mittelungsschritt vor der Logarithmierung bei mehrfachbelegten Zeitpunkten erscheint mir verfahrensfremd. Ich würde ihn weglassen. Begründung mit einem Beispiel, bei dem Zeitpunkte mit unterschiedlicher Wertezahl vorliegen: Jeder Messwert verdient die gleiche Berücksichtigung. Wenn an einer Stelle 10 Werte mit geringer Streubreite gemessen wurden, verdient dieser Zeitpunkt (und bekommt ohne Mittelung) mehr Beachtung, als wenn dort nur ein (Mittel-)Wert berücksichtigt wird. Die Mittelung unterdrückt sozusagen Daten. Im Extremfall wird ein hundertfach gleich gemessener Punkt mit einem nur einmal gemessenen gleichgewichtig in die Regression eingehen. |
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| 31.05.2011, 14:24 | Blooopsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wie ists, wenn ich noch einen Offset von null dabei habe? Also meine Exponentialfunktion nicht auf null zurück geht? Muß dann in der Berechnung der Halbwertszeit aus lambda dieser Offset irgendwie berücksichitgt werden? Das ist mehr oder minder die eigentliche Frage. Vielen Dank für eure bisherigen Antworten. |
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| 31.05.2011, 14:56 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn der Offset nicht gegeben ist, hat der Regressionsansatz drei Parameter und ist nicht mehr auf eine Gerade zurückführbar. Dann würde ich ein nichtlineares Optimierungsprogramm verwenden, in Scilab optim, in Matlab fminsearch. |
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| 11.07.2011, 20:35 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Noch ein Nachtrag zum Thread als Dateianhang! |
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