Verständnisproblem Dimension quad. Matrizen

30.05.2011, 18:45	Pustefix91	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisproblem Dimension quad. Matrizen Guten Abend, in meinen Unterlagen steht, dass M(n,K) die Dimension $\begin{eqnarray} n^{2} \end{eqnarray}$ hat. Ich verstehe aber nicht, wie man darauf kommt. Die Dimension eines Vektorraums, ist gleich der Anzahl der Basisvektoren. Ich frag mich wie das hier zu verstehen ist. Bildet man hier also eine Linearkombination von Matrizen aus A und zeigt das dies gleich $\begin{eqnarray} n^{2} \end{eqnarray}$ linear unabhängiger Matrixen A sind? Überhaupt ist für mich nicht sonderlich "offensichtlich" weshalb die Dimension der Menge von quadratischen Matrixen gleich $\begin{eqnarray} n^{2} \end{eqnarray}$ ist . Wäre echt super, wenn mir das jemand erklären könnte. Schönen Gruß Pustefix91
30.05.2011, 18:51	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hat einen Vektorraumisomorphismus $\begin{eqnarray} M_n(K) \cong K^{n^2}, ~ \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{1n}\\ \vdots \\a_{n1} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
30.05.2011, 19:03	Pustefix91	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Habe leider keine solche Aussage im Skript gefunden. Das einzige was da steht und in diese Richtung geht ist "Sei V ein K-Vektorraum mit dimV = n. Dann gibt es einen Isomorphismus $\begin{eqnarray} f: K^{n} -> V \end{eqnarray}$ , d.h., es gilt V ist isomorph zu $\begin{eqnarray} K^{n} \end{eqnarray}$ ." Es wundert mich dann doch irgendwie, das dies im Skript wie eine Selbstverständlichkeit steht.... Schönen Gruß Pustefix91

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