irreduzible polynome (eisenstein und co)

30.05.2011, 20:39	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
irreduzible polynome (eisenstein und co) hi, wollte mal fragen ob man das so machen kann: $\begin{eqnarray} x^4+3x^3+x^2-2x+1\in\mathbb{Q}[x] \end{eqnarray}$ irreduzibel, da in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3: x^4+x^2+x+1 \end{eqnarray}$ hat keine Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ und es teilt nicht die irreduziblen Polynome 2. Grades $\begin{eqnarray} x^2+1, x^2-x-1, x^2+x-1 \end{eqnarray}$ Dann: $\begin{eqnarray} x^4+12x^3+36x^2+36x+12\in\mathbb{Q}[x] \end{eqnarray}$ irreduzibel, da $\begin{eqnarray} 3\nmid 1, 3\mid 12, 3\mid 36, 3^2=9\nmid 12 \end{eqnarray}$ und zuletzt: $\begin{eqnarray} xy^2+x^2y-x-y+1\in\mathbb{Q}[x,y]=xy^2+(x^2-1)y+(x-1)\in(\mathbb{Q}[x])[y] \end{eqnarray}$ irreduzibel, da $\begin{eqnarray} (x+1) \end{eqnarray}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x+1)\mid (x^2-1), (x+1)\nmid x, (x+1)^2\nmid (x-1) \end{eqnarray}$ geht das so???
31.05.2011, 10:23	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Die ersten beiden sind richtig. Beim dritten ist die Vorgehensweise auch richtig, aber du hast dich zweimal verschrieben: Der nullte Koeffizient des Polynoms als Polynom in y ist 1-x und das Primelement in Q[X] mit dem man Eisensteinkriterium anwenden kann ist natürlich auch x-1.
31.05.2011, 11:02	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok vielen dank

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