Uneigentliche Integrale

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30.05.2011, 22:27	Nullcheker	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliche Integrale Sei $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Diskutieren sie, für welche $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ die (ggf uneigentlichen) Integrale existieren. i) $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! x^\alpha \, dx \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! x^\alpha \, dx \end{eqnarray}$ Irgendwie fehlt mir grad der Ansatz, wie ich das am Besten angehe :/. Also i) existiert auf jedenfall schonmal $\begin{eqnarray} \forall \alpha \geq 0 \end{eqnarray}$ (weil es dann ein Polynom ist, für welches das Integral in / auf den Grenzen existiert. (Soweit richtig ? ) $\begin{eqnarray} \forall \alpha < 0 \end{eqnarray}$ gilt ja: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! x^\alpha \, dx = \int_0^1 \! \frac 1{x^{-\alpha}} \, dx \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ gibts da keine Probleme.. aber für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ .. also: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac 1{x^{-\alpha}} \, dx = \lim_{a \to 0} \int_a^1 \! \frac 1{x^{-\alpha}} \, dx \end{eqnarray}$ (da $\begin{eqnarray} \frac 1{x^{-\alpha}} \end{eqnarray}$ definiert ist auf $\begin{eqnarray} (0,1] \end{eqnarray}$ Die Frage ist ja nun, für welches $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ existiert dieser Grenzwert .. aber da bilden sich irgendwie nur Fragezeichen über mir ._. (Zumal: Bin ich bis hier hin überhaupt "richtig" vorgegangen ? ) & Sry für die späte Uhrzeit. Vllt. findet sich ja heute sogar noch jemand, sonst nerv ich morgen nochmal :-p Gruß
30.05.2011, 23:47	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliche Integrale Naja, du kannst das ganze ja mal als Grenzwert eines normalen Integrals schreiben - so ist ja die Definition der uneigentlichen Integrale. Das tust du ja scheinbar schon so ungefähr. Das Integral darin kannst du aber Ausführen (du musst dir nur überlegen, warum die Stammfunktion exsitiert...) und dann kannst du schauen, ob der Grenzwert existiert. Gruß MI
30.05.2011, 23:57	Nullcheker	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage stell ich mal hier (bevor ich sie in dem anderen Thread doppelt stelle) Wenn ich also so einen Grenzwert nachweisen soll (also die Existenz), dann kann ich (insofern sie existiert) die Stammfunktion bilden und dabei dann gucken, wie der limes sich verhällt ?
31.05.2011, 00:28	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Du bildest ja den Grenzwert erst nach der Integration. Wenn keine Singularität da ist, dann kannst du das Integral ja ganz normal über die Stammfunktion berechnen. Also kannst du das vor Grenzwertbildung ja machen - hindert dich ja keiner dran. Ein wirkliches Problem mit Grenzwerten bekommst du nur, wenn du verschiedene hintereinandergeschachtelte Grenzwerte in falscher Reihenfolge durchführen willst. Im Grunde kannst du das ja auch so formulieren: Wir definieren die Abbildung: $\begin{eqnarray} f : y \mapsto \int_y^1 x^{\alpha}\,\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Jetzt definierst du dir einfach, dass der uneigentliche Grenzwert existiert, wenn die Abbildung für $\begin{eqnarray} y\to 0+ \end{eqnarray}$ existiert und endlich ist. Hier ist die Reihenfolge noch klarer: ERST wird die Integration ausgeführt, DANN wird der Grenzwert gebildet. Gruß MI
31.05.2011, 09:01	Nullcheker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliche Integrale Also mal weiter im Programm: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to 0} \int_a^1 \! \frac 1{x^{-\alpha}} \, dx = \lim_{a \to 0} \left[ \frac 1{(\alpha+1)} \cdot \frac 1{x^{-\alpha-1}} \right]_a^1 = \frac 1{(\alpha+1)} \cdot 1 - \frac 1{(\alpha+1)} \cdot \infty \end{eqnarray}$ Ist doch soweit richtig oder? ._. Dann heisst das, dass das Integral nur existiert, wenn $\begin{eqnarray} \alpha \neq -1 \end{eqnarray}$ und ansonsten 0 wird.
31.05.2011, 09:17	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliche Integrale Nein, da machst du's dir zu einfach. Zunächst gilt deine Stammfunktion dann und nur dann, wenn $\begin{eqnarray} \alpha \neq -1 \end{eqnarray}$ ist. Den letzten Fall musst du eigens betrachten, weil die Stammfunktion eine andere ist! Okay, gehen wir jetzt zum ersten Gleihheitszeichen. Einsetzen kannst du auch noch. Und dann musst du den Grenzwert bilden. Du hast das jetzt ein bisschen lapidar dahingeschrieben und dann eben ein "Unendlich" da stehen, das ist etwas informell, allerdings ist natürlich klar, was gemeint ist. Bedenke: Ein uneigentliches Integral, was unendlich als Wert liefert, ist NICHT uneigentlich integrierbar. Also noch mal langsam. Du hast für den Fall $\begin{eqnarray} \alpha\neq -1 \end{eqnarray}$ folgendes: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to 0} \int_a^1 \! \frac 1{x^{-\alpha}} \, dx = \lim_{a \to 0} \left[ \frac 1{(\alpha+1)} \cdot \frac 1{x^{-\alpha-1}} \right]_a^1 = \lim_{a\to 0} \left[ \frac{1}{\alpha +1}\left(1-a^{\alpha+1}\right)\right] \end{eqnarray}$ Und jetzt musst du eben Grenzwertbetrachtungen durchführen. Also: Wann existiert der Grenzwert, und was ist er? Und danach kümmern wir uns noch um den Fall $\begin{eqnarray} \alpha=-1 \end{eqnarray}$ Gruß MI
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31.05.2011, 17:02	Nullcheker	Auf diesen Beitrag antworten »
So aus der Uni zurück & weiter gehts (: Das das Integral (bzw die Stammfunktion) nur für $\begin{eqnarray} \alpha \neq 1 \end{eqnarray}$ so ist kann ich ja vorher noch gar nicht wissen oder? .. Also ich müsste doch erst integrieren und dann sehen, dass $\begin{eqnarray} \alpha \neq 1 \end{eqnarray}$ .. oder auch: Woher weiß man das vorher ? ... Und wie kommstn du auf $\begin{eqnarray} = \lim_{a\to 0} \left[ \frac{1}{\alpha +1}\left(1-a^{\alpha+1}\right)\right] \end{eqnarray}$ ? achsooo ausgeklammert .. aaah xD ok Also der GW existiert doch in jedem fall, da wir $\begin{eqnarray} \alpha \neq 1 \end{eqnarray}$ vorrausgesetzt haben (?) Somit wäre der GW dann auch $\begin{eqnarray} \frac 1{\alpha +1} \end{eqnarray}$ da das in der Klammer ja gegen 1 geht.
01.06.2011, 00:06	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ ? Das stünde doch da, wenn $\begin{eqnarray} \alpha=-1 \end{eqnarray}$ Du kannst sehr wohl wissen, dass da genau eine andere Stammfunktion greift als die, die wir oben eingesetzt haben. Siehst du jetzt, wie/warum du den Fall noch einmal extra behandeln musst? Nun zum Grenzwert: Wenn da steht $\begin{eqnarray} \lim_{x\to b} \ldots = \infty \end{eqnarray}$ dann heißt das, dass der Grenzwert NICHT existiert. Ein Grenzwert existiert, wenn eine reelle Zahl dabei rauskommt. Ich glaube, dass da unser Verständigungsproblem liegt. Du sollst also sagen, wann also das Integral tatsächlich eine Zahl liefert (und welche). Was sind das jetzt für Fälle? Gruß MI
01.06.2011, 01:37	Nullcheker	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaah ok schadümmt ._. (bezogen auf $\begin{eqnarray} \frac 1x \end{eqnarray}$ ) Und ja teilweise musste ich für mich heute erstmal rausfinden, dass der GW eine reelle Zahl sein muss, damit er existiert (bzw wieder "neu rausfinden" ) also wir haben dann $\begin{eqnarray} \lim_{a\to 0} \left[ \frac{1}{\alpha +1}\left(1-a^{\alpha+1}\right)\right] = \frac 1{\alpha + 1}\cdot (1-0) = \frac 1{\alpha + 1} \end{eqnarray}$ Da wir $\begin{eqnarray} \alpha \neq -1 \end{eqnarray}$ ja vorrausgesetzt haben (bzw = -1 rausgenommen) existiert somit ein Grenzwert $\begin{eqnarray} \forall \alpha \in \mathbb R, \alpha \neq -1 \end{eqnarray}$ Bis dahin sollte das jetzt richtig sein oder?
01.06.2011, 01:56	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist mit $\begin{eqnarray} \alpha=-2 \end{eqnarray}$ - zum Beispiel? Gruß MI
01.06.2011, 09:44	Nullcheker	Auf diesen Beitrag antworten »
Na da ist der GW dann -1 .. existiert also .. also auch das Integral ?! Weiß nicht, was du mir damit sagen willst :/
01.06.2011, 13:35	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck noch mal ganz genau hin. Theoretisch steht dann da $\begin{eqnarray} 0^{-1} \end{eqnarray}$ Blöde Sache, weil's unendlich ist. Gruß MI
01.06.2011, 17:36	Nullcheker	Auf diesen Beitrag antworten »
aaah jetzt weiß ich was du meinst mh ._. stimmt Da ich grad nur ganz kurz Zeit habe .. (unformal Heisst das dann, dass man damit zeigen kann, dass $\begin{eqnarray} \alpha \geq 1 \end{eqnarray}$ sein muss ? (wobei halt $\begin{eqnarray} \alpha = 1 \end{eqnarray}$ gesondert betrachtet werden muss
01.06.2011, 19:58	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du jetzt noch das Vorzeichen korrigierst und zunächst eben nur > annimmst (Fall alpha=-1 noch prüfen), dann stimmt's. Gruß MI
02.06.2011, 15:47	Nullcheker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok super =) Vielen Dank für die Hilfe =)

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