Grenzwert eulersche Zahl

30.05.2011, 23:04

dfjg

Grenzwert eulersche Zahl

Hallo,

wollte fragen ob

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }(1+\frac{x}{n})^n=e^x \end{eqnarray*}$

das gleiche ist wie:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }(1+\frac{x}{n})^{n+15}=e^x \end{eqnarray*}$

Wenn, hinter dem hoch n noch plus irgendeine Zahl steht macht doch praktisch nichts aus oder ?

30.05.2011, 23:19

Pascal95

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x \end{eqnarray*}$

Ja, natürlich kann man auch anstatt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} n+a \end{eqnarray*}$ schreiben für $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wenn der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gesucht ist.

Salopp gesagt $\begin{eqnarray*} \ \forall a\in\mathbb R : \ \infty + a = \infty \end{eqnarray*}$ .

30.05.2011, 23:24

Airblader

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Zitat:

Original von Pascal95
Salopp gesagt $\begin{eqnarray*} \ \forall a\in\mathbb R : \ \infty + a = \infty \end{eqnarray*}$ .

Diese Begründung ist hier falsch. Besser begründet man es über Grenzwertsätze für Produkte. Diese gelten nur für zwei bzw. induktiv für endlich viele Produkte, womit auch die "Grenze" gesetzt ist.

Ein Beispiel, das Pascals Argumentation nach auch "nichts verändern" müsste, es aber dennoch tut (da nicht mehr nur endlich viele Faktoren hinzukommen):

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{2n} = e^{2x} \end{eqnarray*}$

air

30.05.2011, 23:32

dfjg

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Dann müsste das was ich hier in der Aufgabe gemacht habe ja auch erlaubt sein smile

$\begin{eqnarray*} a_{n}=(1-\frac{2}{n-3})^{n+7}=[1-\frac{2}{n*(1-\frac{3}{n}) }]^{n+7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } [1-\frac{2}{n*(1-\frac{3}{n}) }]^{n+7}=(1-\frac{2}{n})^{n+7}=e^{-2}=\frac{1}{e^2} \end{eqnarray*}$

31.05.2011, 14:17

diemensch

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sieht gut aus

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