Hom. DGL mit komplexen Eigenwerten

30.05.2011, 23:32	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hom. DGL mit komplexen Eigenwerten Hallo Zusammen Ich habe ein Riesenproblem bei homogenen Differentialgleichungen mit komplxen Eigenwerten. Und zwar stelle ich die Eigenvektoren IMMER falsch auf. Geg.: $\begin{eqnarray} y''+\frac{1}{2}y'+y = 0 \end{eqnarray}$ mit AB: $\begin{eqnarray} y(0) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'(0) = 0 \end{eqnarray}$ Somit: $\begin{eqnarray} x' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_0 = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich erhalte die richtigen Eigenwerte und "fast" die richtigen Eigenräume dazu! Jedenfalls spuckt Mathematica mir die exakt selben Werte heraus! Das Problem stellt sich beim Schritt zur speziellen Lösung. Mit den eingesetzten ABs erhalte ich: $\begin{eqnarray} x_h(0) = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & \frac{\sqrt{15}}{4}\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1\\ b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich erhalte $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ . Jedoch sollte es $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ geben. Mir ist das Problem klar. Meine Eigenvektoren sind IMMER horizontal gespiegelt zu den Eigenvektoren in den Lösungen und ich verstehen absolut nicht warum??? Ich wäre dankbar, falls mir jemand, irgendjemand, diesen Schritt näherbringen könnte? Muss man das Gaussverfahren bei komplexen Eigenwerten anders angehen? Danke im Voraus

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