Konvergenz / Divergenz

30.05.2011, 23:47

Lula90

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Konvergenz / Divergenz

Bei folgenden Reihen ist zu sagen, ob konvergent oder divergent:

$\begin{eqnarray*} a) \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{q^{k}} , q \in (-1,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b) \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2k+1}{2k^{2}+4k-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c) \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k} k^{2}}{k^{4}+k+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d) \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3k}{k!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e) \frac{3}{2} +\frac{1}{2^{2}} +\frac{3}{2^{3}} +...\frac{1}{2^{2k}} +\frac{3}{2^{2k+1}} ... \end{eqnarray*}$
Außerdem ist zu sagen, dass wir bisher nur folgende Kriterien kennen: Leibnitz, Wurzel, Quotienten und Cauchy.

zu a) Die Reihe ist divergent nach Leibnitz.
zu b) Die Reihe ist konvergent nach Cauchy.
zu c) Die Reihe ist vom Gefühl her konvergent, aber wieso weiß ich nicht.
zu d) Die Reihe ist auch konvergent, aber ich kann nicht sagen nach welchem Kriterium.
zu e) Mit dieser Reihe kann ich gar nichts anfangen.

Das sind also meine Lösungsansätze.
Sind die Lösungen richtig? Könnt ihr mir bei denen helfen, wo ich ratlos bin?

31.05.2011, 00:02

EpsilonKleinerNull

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Einige Ideen zu c, d und e:

Zu c): Wenn du den Bruch etwas kürzt, findest du vielleicht eine konvergente Majorante.

Zu d): Fakultäten schreien meistens nach dem Quotientenkriterium. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} k! = k\cdot (k-1)! \end{eqnarray*}$

Zu e): Versuche, dies in eine Vorschrift zu bauen: der Zähler schwankt zwischen 1 und 3, ist also von der Form $\begin{eqnarray*} 2 + (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

31.05.2011, 00:10

Lula90

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Sind denn meine Vermutungen bei a)-d) richtig?

31.05.2011, 00:17

Iorek

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Nein, sind sie nicht.

Das Leibnizkriterium macht keine Aussage zur Divergenz einer Reihe sondern nur zur Konvergenz.

Deine Reihe bei b) konvergiert nicht, c) und d) konvergieren (in der d) steckt auch eine sehr bekannte Reihe).

[WS] Reihen

31.05.2011, 00:20

Lula90

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aber trotzdem divergiert a) doch

31.05.2011, 00:22

Iorek

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In der Tat divergiert die Reihe in a), aber du hast eine falsche Begründung angegeben.

Übrigens ist die Angabe $\begin{eqnarray*} q\in (-1,1) \end{eqnarray*}$ problematisch.

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31.05.2011, 00:31

Lula90

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die angabe zu q steht genau so auf dem Arbeitsblatt. Ich denke mal, q ist entweder -1 oder 1. Aber das macht doch eigentlich keinen Unterschied, da die Reihe entweder gegen unendlich oder minus unendlich geht.

a) divergiert nach dem Quotientenkriterium?

31.05.2011, 00:38

Iorek

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Zitat:

Original von Lula90
die angabe zu q steht genau so auf dem Arbeitsblatt. Ich denke mal, q ist entweder -1 oder 1.

Dann sollten wir erst einmal klären, was da genau steht. $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ bezeichnet das offene Intervall von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , und das würde bei deiner Reihe zu Problemen führen.

Zitat:

Original von Lula90
a) divergiert nach dem Quotientenkriterium?

Wenn du das noch sauber aufschreibst (und die Frage nach der Bezeichnung klärst), wäre das eine Möglichkeit.

31.05.2011, 00:41

Lula90

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Okay, das werde ich morgen alles sauber aufschreiben.

Kannst du mir noch einen guten Tipp zu e) geben?

31.05.2011, 00:43

Iorek

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Zitat:

Original von EpsilonKleinerNull
Zu e): Versuche, dies in eine Vorschrift zu bauen: der Zähler schwankt zwischen 1 und 3, ist also von der Form $\begin{eqnarray*} 2 + (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Danach kann man gucken wie man da rangeht (das Majorantenkriterium sollte es tun).

Es bleibt aber immer noch die Frage nach dem $\begin{eqnarray*} q\in(-1,1) \end{eqnarray*}$ offen.

31.05.2011, 00:45

Lula90

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Majorantenkriterium haben wir noch nicht behandelt.

Naja aber wie soll man das Problem um q lösen, wenn ich keine weiteren Angaben habe außer die, die auf dem AB steht.

31.05.2011, 00:47

Iorek

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Ist da vielleicht eine Zahl ausgeschlossen? Ansonsten könntest du den einen Problemfall bei dir in deinen Ausführungen ausschließen.

31.05.2011, 00:49

Lula90

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Meinst du die 0? Ich versteh grad nichts verwirrt

verwirrt

31.05.2011, 00:50

Iorek

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Ja, die 0 macht hier Probleme. Schließ die dann bei deinen Ausführungen also einfach aus (Sei $\begin{eqnarray*} q\in(-1,1),~q\neq 0 \end{eqnarray*}$ ...).

31.05.2011, 00:54

Lula90

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Okay, danke !

Trotzdem komm ich bei e) nicht weiter. Du sagst ich soll das Majorantenkriterium verwenden, das hatten wir aber noch gar nicht.
Womit kann ich es noch lösen?

24.07.2011, 17:20

mr.cat

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RE: Konvergenz / Divergenz
Kann mir bitte jemand erklären wieso die Reihe inb) nicht konvergiert? Ich sehe da nur dass der Zähler und der Nenner unendlich werden

24.07.2011, 17:40

Jeremy124

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RE: Konvergenz / Divergenz
Es lässt sich doch so abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2k+1}{2k^{2}+4k-1} \ge \frac{C}{k} \end{eqnarray*}$

Und dann hat man auch schon die harmonische Reihe.

24.07.2011, 17:43

mr.cat

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Wie kommst du auf die konstante im Zähler?

24.07.2011, 17:45

Jeremy124

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Heuristisch könnte man doch einfach so abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2k+1}{2k^{2}+4k-1} \ge \frac{2k}{1000 k^2} \end{eqnarray*}$

und somit wäre $\begin{eqnarray*} C = \frac{2}{1000} \end{eqnarray*}$ geeignet.

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