Außenraum Dirichletproblem schwache Formulierung

31.05.2011, 00:18	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Außenraum Dirichletproblem schwache Formulierung Mir geht es um die Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Formulierung des Dirichlet-Problems der Poisson-Gleichung im Außenraum (!) für drei Dimensionen. Also konkret: Finde eine schwache Lösung von: $\begin{eqnarray} -\Delta u = f \quad\mathrm{in}~\Omega<br /> u=0 \quad\mathrm{in}~\partial\Omega<br /> (u\to 0~~ \|x\|\to \infty) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} f\in L^2 \end{eqnarray}$ mit kompaktem Träger ganz in $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ (!) und $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ein Außenraum ist ( $\begin{eqnarray} \Omega\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3\backslash \Omega \end{eqnarray}$ ist eine kompakte Menge) mit nicht allzu starkem Rand - minimal würde ich Lipschitz bevorzugen (in der englischen Literatur "strong lipschitz property"), aber alles bis $\begin{eqnarray} C^{1,\kappa} \end{eqnarray}$ wäre auch noch in Ordnung. das heißt konkret (schwache Formulierung): Finde ein $\begin{eqnarray} u\in W^{1,2}_0(\Omega) \end{eqnarray}$ für das gilt: $\begin{eqnarray} \int_{\Omega} Du Dv\,\mathrm{d}x = \int f v \,\mathrm{d}x~~\mathrm{in}~\Omega<br /> \gamma_0 u=0 \quad \mathrm{in}~\partial\Omega<br /> (u\to 0~~\|x\|\to \infty) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v\in W^{1,2}_0(\Omega) \end{eqnarray}$ . Dabei bezeichnet $\begin{eqnarray} \gamma_0 \end{eqnarray}$ den Spuroperator für den entsprechenden Spurraum des Randes. Aber im Grunde brauche ich diese Bedingung nicht - die steckt schon in der Lösungsraumvoraussetzung mit drin, wenn ich das richtig sehe. Die letzte Zusatzbedingung brauche ich vermutlich noch, um auch wirklich Eindeutigkeit herzustellen. Das Problem ist jetzt, dass ich ein Außenraumproblem habe. Für den Innenraum wären Existenz und Eindeutigkeit relativ leicht zu zeigen. Ich habe offensichtlich in der Poissongleichung in schwacher Formulierung links eine Bilinearform und rechts ein lineares, stetiges Funktional. Mit Lax-Milgram ergibt sich (für den Innenraum (!) ) dann relativ einfach die E. und E. Für den Außenraum funktioniert das nicht - und zwar geht das bei der Beschränktheit nach unten (Koerzivität) der Bilinearform schief: Die Voraussetzung sagt: Ich benötige eine Konstante $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \int_{\Omega} (Du)^2 \,\mathrm{d}x \geq \beta \\|u\\|_{W^{1,2}_0(\Omega)} \end{eqnarray}$ Die Norm auf den Sobolevraum ist bekanntermaßen: $\begin{eqnarray} \\|u\\|_{W^{1,2}_0(\Omega)} = \left(\\|u\\|_{L^2}+\int_{\Omega} (Du)^2\,\mathrm{d}x\right)^{1/2} \end{eqnarray}$ d.h. im Grunde muss ich zeigen: $\begin{eqnarray} \\|Du\\|_{L^2}\geq \beta \\|u\\|_{L^2} \end{eqnarray}$ Problem: Ich habe einen Satz gefunden, der sagt, dass diese (die Poincarésche) Ungleichung für Gebiete mit äußerer Kegeleigenschaft DANN UND NUR DANN gilt, wenn ich keine beliebig große Kugel in mein $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ packen kann. Das geht natürlich für den Außenraum sofort schief - Lax-Milgram ist also gestorben. Meine Frage: Physikalisch ist eigentlich klar, dass es eine eindeutige Lösung für die schwache Formulierung geben muss - nur muss ich das eben mathematisch zeigen. Kennt jemand (gerne auch in der Literatur) ein relativ einfaches Argument für Existenz und Eindeutigkeit? Wie gesagt, es kann gerne spezifisch auf drei Dimensionen und die Poisson-Gleichung zugeschnitten sein. Wenn ich das richtig sehe, dann liefern Hsiao und Wendland im Buch "Boundary Integral Equations" einen Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis für relativ allgemeine Klassen elliptischer PDGL (Kapitel 5, Variational Formulations), allerdings ist der natürlich allgemein gehalten und ich muss die 60 Seiten vorher auch durchackern, um wirklich sicher zu gehen, dass der Satz mein Problem löst - und dann muss ich mal wieder andere Bücher zusammensuchen, weil der Satz natürlich ohne Beweis zitiert ist - und das würde ich gerne vermeiden... Gruß MI
01.06.2011, 00:10	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Außenraum Dirichletproblem schwache Formulierung Ok, hat sich gelöst. Gilbarg und Trudinger haben die Lösung. Die Idee ist, die Bilinearform durch Addition von $\begin{eqnarray} -\sigma\cdot (u,v) \end{eqnarray}$ mit dem Standardskalarprodukt des Hilbertraumes zu erweitern, sodass man eben eine koerzitive Bilinearform bekommt. Offenbar hat man dann aber noch einen Summanden $\begin{eqnarray} \sigma\cdot (u,v) \end{eqnarray}$ , was man als $\begin{eqnarray} Iu(v) \end{eqnarray}$ schreiben kann mit kompaktem $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ . Das Funktional, was im Grunde in der Bilinearform steht, ist dann invertierbar und mit der Fredholmschen Alternative kann man zeigen, dass es immer ein eindeutiges $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ geben muss. Damit hat man dann das Problem, was ich oben geschildert habe, geschickt umgangen. Gruß MI

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