Isomorphismus einer Funktion zeigen

31.05.2011, 00:28

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Isomorphismus einer Funktion zeigen

Hallo!

Ich habe eine Aufgabe vorliegen, bei der es darum geht, einen Isomorphismus zu zeigen:

............................................................

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine abelsche und endliche Gruppe und $\begin{eqnarray*} U \subset G \end{eqnarray*}$ sei eine Untergruppe.

Eine Operation von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C[G] \end{eqnarray*}$ sei gegeben durch

$\begin{eqnarray*} (gf)(h):=f(h \cdot g) \end{eqnarray*}$

Dabei sei $\begin{eqnarray*} \mathbb C[G] \end{eqnarray*}$ der Vektorraum aller $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -wertigen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie: Ist $\begin{eqnarray*} \pi : G \to G/U \end{eqnarray*}$ die kanonische Projektion, so liefert die Funktion

$\begin{eqnarray*} \pi^* :\mathbb C[G/U] \to \mathbb C[G], \quad f \mapsto f \circ \pi \end{eqnarray*}$

einen Isomorphismus

$\begin{eqnarray*} \mathbb C[G/U]\rightarrow \mathbb C[G]^U=\left \{f\in \mathbb C[G] \ \ | \ \ uf=f \ \ \forall \ u \in U \right \} \end{eqnarray*}$

............................................................

Also: Isomorphismus bedeutet ja, dass es sich um eine wohldefinierte, injektive und surjektive Abbildung handelt. Konkret müsste ich hier einen Vektorraum-Isomorphismus zeigen, also auch Linearität, oder?

Wie zeige ich z. B die Injektivität der Abbildung? Wenn $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ das neutrale Element ist, das heißt $\begin{eqnarray*} f:G \to \mathbb C, f \equiv 1 \end{eqnarray*}$ , dann müsste ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch das neutrale Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb C[G/U] \end{eqnarray*}$ ist? Aber welche Struktur hat $\begin{eqnarray*} \mathbb C[G/U] \end{eqnarray*}$ denn, bzw. wie sehen die Elemente dort aus?
Und Surjektivität ist noch schwieriger ...

Ich weiß leider nicht weiter...
Bitte helft mir!

Vielen Dank für eure Mühe!

Ciao,
Matthias20

31.05.2011, 00:44

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige zunächst, dass das Bild von $\begin{eqnarray*} \pi^* \end{eqnarray*}$ tatsächlich $\begin{eqnarray*} \mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ ist. Welche Bedingung musst Du dazu konkret prüfen?

Zur Linearität musst Du die üblichen Kriterien prüfen: $\begin{eqnarray*} \pi^*(f + g) = \pi^*(f) + \pi^*(g) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi^*(\alpha f) = \alpha \pi^*(f) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f,g \colon G/U \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Jetzt weißt, Du dass $\begin{eqnarray*} \pi^* \end{eqnarray*}$ linear ist, d.h. für die Injektivität genügt es, die Trivialität des Kerns zu zeigen.

31.05.2011, 13:01

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Zeige zunächst, dass das Bild von $\begin{eqnarray*} \pi^* \end{eqnarray*}$ tatsächlich $\begin{eqnarray*} \mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ ist. Welche Bedingung musst Du dazu konkret prüfen?

Dazu muss ich prüfen, dass $\begin{eqnarray*} \pi^*(f(g+U)) \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} uf(g)=f(g) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ erfüllt, richtig?
Ich finde das sehr schwierig, wie macht man das?

Trivialer Kern heißt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Konstante $\begin{eqnarray*} 1-\text{Funktion} \end{eqnarray*}$ ist, oder?

31.05.2011, 13:24

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matthias20
Dazu muss ich prüfen, dass $\begin{eqnarray*} \pi^*(f(g+U)) \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} uf(g)=f(g) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ erfüllt, richtig?

Du meinst das richtig, aber es ist noch fehlerhaft aufgeschrieben. Die Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[G/U] \end{eqnarray*}$ sind Funktionen $\begin{eqnarray*} f \colon G/U \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Zu prüfen ist, dass für alle solche $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \circ \pi \colon G \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ invariant unter ganz $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} u(f \circ \pi) = f \circ \pi \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ .

Zum Beweis musst Du dir die Abbildung punktweise angucken. Für $\begin{eqnarray*} h \in G \end{eqnarray*}$ berechne also $\begin{eqnarray*} u(f \circ \pi)(h) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Matthias20
Trivialer Kern heißt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Konstante $\begin{eqnarray*} 1-\text{Funktion} \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Das neutrale Element in den Abbildungsräumen $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[G/U], \mathbb{C}[G] \end{eqnarray*}$ ist bezüglich der punktweisen Addition von Abbildungen gemeint, es ist also jeweils die konstante Nullabbildung.

31.05.2011, 15:54

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
danke für deine Erklärungen.
Also ich hab mal folgendes gerechnet:

Sei $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi : G\to G/U \end{eqnarray*}$ die Projektion.

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} u \cdot (f \circ \pi)(h)=u\cdot f(\pi(h))=u\cdot f(h+U)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(u\cdot f)(h+U):=f(u\cdot (h+U))=f(u\cdot h + U) \end{eqnarray*}$

Aber herauskommen sollte ja eigentlich $\begin{eqnarray*} f\circ \pi (h)=f(h+U) \end{eqnarray*}$

Wo ist da jetzt der Fehler?

01.06.2011, 11:59

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

kann mir bitte jemand sagen, was an meiner letzten Rechnung falsch ist??
Muss ich die Projektion schreiben als

$\begin{eqnarray*} \pi : G\to G/U, \quad g \mapsto g\cdot U \end{eqnarray*}$

oder als

$\begin{eqnarray*} \pi : G\to G/U, \quad g \mapsto g +U \end{eqnarray*}$

?

Danke!
Matthias

Anzeige

01.06.2011, 19:25

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Konvention gemäß schreibt man bei allgemeinen Gruppen die Verknüpfung als Multiplikation, d.h. insbesondere $\begin{eqnarray*} \pi \colon G \to G/U, ~ g \mapsto gU \end{eqnarray*}$ .

Du hast die die Wirkung falsch aufgeschrieben. Diese ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} U \times G[\mathbb C] \to G[\mathbb C] \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ wirkt auf den Funktionen, die von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ausgehen, nicht von $\begin{eqnarray*} G/U \end{eqnarray*}$ .

Es ist also $\begin{eqnarray*} u(f \circ \pi)(h) = (f \circ \pi)(hu) \end{eqnarray*}$ . Wie geht's weiter?

01.06.2011, 20:10

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

und nochmals danke :-)

Jetzt müsste es passen :

$\begin{eqnarray*} u(f\circ \pi)(h)=(f \circ \pi)(hu)=f(\pi(hu))=f(hu\cdot U)=f(h\cdot U) = (f\circ \pi)(h) \end{eqnarray*}$

Und damit folgt jetzt $\begin{eqnarray*} \mathrm{im}(\pi^*)=\mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ .

Kann ich nun schlussfolgern, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: \mathbb C[G/U]\rightarrow \mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ surjektiv ist?

Dann muss ich als nächstes den Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bestimmen. Reicht es dazu, den Kern von $\begin{eqnarray*} \pi^* \end{eqnarray*}$ zu bestimmen?

01.06.2011, 20:13

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matthias20
$\begin{eqnarray*} u(f\circ \pi)(h)=(f \circ \pi)(hu)=f(\pi(hu))=f(hu\cdot U)=f(h\cdot U) = (f\circ \pi)(h) \end{eqnarray*}$

Und damit folgt jetzt $\begin{eqnarray*} \mathrm{im}(\pi^*)=\mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ .

Das ist richtig.

Zitat:

Original von Matthias20
Kann ich nun schlussfolgern, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: \mathbb C[G/U]\rightarrow \mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ surjektiv ist?

Bitte nicht mehr Bezeichner als nötig. Die Abbildung ist einfach $\begin{eqnarray*} \pi^* \end{eqnarray*}$ , koeingeschränkt auf ihr Bild $\begin{eqnarray*} \mathrm{im}(\pi^*)=\mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Matthias20
Dann muss ich als nächstes den Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bestimmen. Reicht es dazu, den Kern von $\begin{eqnarray*} \pi^* \end{eqnarray*}$ zu bestimmen?

Zusammen mit obiger Bemerkung: ja.

01.06.2011, 20:31

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du bitte etwas zur Injektivität sagen, weil ich da nicht weiter komme.
Sei $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb C[G] \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f : G/U \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} \pi^*(f)=f\circ \pi=0 \end{eqnarray*}$ .

Genauer müsste das heissen : $\begin{eqnarray*} f(\pi(g))=f(gU)=0 \ \ \forall \ g\in G \end{eqnarray*}$

Ich muss schlussfolgern, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung ist.
Aber wie mache ich das??

01.06.2011, 20:49

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matthias20
Sei $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb C[G] \end{eqnarray*}$ [...]

Hier meintest Du wohl $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb C[G/U] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Matthias20
[...] also $\begin{eqnarray*} f : G/U \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} \pi^*(f)=f\circ \pi=0 \end{eqnarray*}$ .

Genauer müsste das heissen : $\begin{eqnarray*} f(\pi(g))=f(gU)=0 \ \ \forall \ g\in G \end{eqnarray*}$

Ich muss schlussfolgern, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung ist.
Aber wie mache ich das??

Schau mal genau hin, was Du geschrieben hast. Du bist nämlich damit schon fertig. smile

smile

Natürlich funktioniert dieser Injektivitätsbeweis nur, wenn vorher tatsächlich klargemacht wurde, dass $\begin{eqnarray*} \pi^* \end{eqnarray*}$ ein Vektorraumhomomorphismus ist.

01.06.2011, 21:14

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich meinte $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb C[G/U] \end{eqnarray*}$ .

Ich hab mir das nochmal angeguckt und meine, dass die Folgerung
$\begin{eqnarray*} f \circ \pi = 0\ \ \Rightarrow \ \ f=0 \end{eqnarray*}$
gilt, da $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Nun zur Linearität von $\begin{eqnarray*} \pi^* \end{eqnarray*}$ :

Seien $\begin{eqnarray*} f,g \in \mathbb C[G/U] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \pi^*(f)+\pi^*(g)=f\circ \pi + g\circ \pi=(f+g)\circ \pi = \pi^*(f+g) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha \pi^*(f)=\alpha \cdot(f \circ \pi) = (\alpha f)\circ \pi = \pi^*(\alpha f) \end{eqnarray*}$

Ist das alles richtig und bin ich damit fertig?

01.06.2011, 21:44

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matthias20
Ich hab mir das nochmal angeguckt und meine, dass die Folgerung
$\begin{eqnarray*} f \circ \pi = 0\ \ \Rightarrow \ \ f=0 \end{eqnarray*}$
gilt, da $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Ganz recht.

Auch Dein Linearitätsbeweis passt. Du kannst das natürlich etwas ausführlicher aufschreiben, indem Du die Abbildungsidentitäten an einem Punkt auswertest, aber es steckt jedenfalls nicht mehr dahinter, als Du schon geschrieben hast.

01.06.2011, 22:15

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, nochmals vielen Dank für deine Hilfe!!

smile

smile

Gruß,
Matthias

03.06.2011, 00:08

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde gerne zu einer Teilaufgabe noch eine Frage stellen:

Nach der ersten Aufgabe gilt die Isomorphie $\begin{eqnarray*} \mathbb C[G/U] \cong \mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ .

In der zweiten Teilaufgabe soll man zeigen, dass man mit
$\begin{eqnarray*} \mathbb C [G] \to \mathbb C[G]^U, \ \ f \mapsto \frac{1}{|G/U|}\sum_{u\in U} u\cdot f \end{eqnarray*}$
eine Umkehrabbildung erhält.

Dazu muss ich zeigen : $\begin{eqnarray*} \pi^* \circ \pi^{*^{-1}}(f)=f \end{eqnarray*}$

Also fange ich mal zu rechnen an:
$\begin{eqnarray*} \pi^* ( \pi^{*^{-1}}(f)) = \pi^*\left ( \frac{1}{|G/U|}\sum_{u\in U}uf \right )= \frac{1}{|G/U|}\pi^*\left ( \sum_{u\in U}uf \right ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{|G/U|}\left ( \left (\sum_{u\in U}uf \right )\circ \pi \right ) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ endlich ist, ist auch $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ endlich. Seien also $\begin{eqnarray*} u_1,...,u_n \in U \end{eqnarray*}$ alle Elemente von $\begin{eqnarray*} U. \end{eqnarray*}$ Dann gilt weiter:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{|G/U|}\left ( \left ( u_1f+...+u_nf \right )\circ \pi \right )=\frac{1}{|G/U|}\left ( u_1f \circ \pi +...+u_nf \circ \pi \right )= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|G/U|}\left ( f \circ \pi +...+ f \circ \pi \right )=\frac{1}{|G/U|}((f\circ \pi)\cdot |U|) \end{eqnarray*}$

Aber wie muss ich weiter rechnen, um " $\begin{eqnarray*} ...=f \end{eqnarray*}$ " zu erhalten?

05.06.2011, 12:01

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

*push*

Hallo,

die Frage ist noch offen. Es würde mich freuen, wenn mir jemand eine Antwort geben könnte.

Viele Grüße,
Matthias

05.06.2011, 20:09

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Soll die angegebene Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb C[G] \to \mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ wirklich invers sein zu $\begin{eqnarray*} \pi^* \colon \mathbb C[G/U] \to \mathbb C[G] \end{eqnarray*}$ ?

05.06.2011, 20:49

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Die Aufgabe ist nicht ganz klar gestellt (die Umkehrabbildung hat auch keinen Namen, aber ich habe sie $\begin{eqnarray*} \pi^{*^{-1}} \end{eqnarray*}$ genannt).

Da aber die Abbildung $\begin{eqnarray*} \pi^* : \mathbb C[G/U] \to \mathbb C[G] \end{eqnarray*}$ kein Isomorphismus ist, sondern erst einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb C[G/U] \to \mathbb C[G]^U \end{eqnarray*}$ induziert, halte ich es für plausibel, dass in der Aufgabenstellung ein Druckfehler ist und es heißen müsste, dass man eine Umkehrabbildung

$\begin{eqnarray*} \mathbb C [G/U] \to \mathbb C[G]^U, \ \ f \mapsto \frac{1}{|G/U|}\sum_{u\in U} u\cdot f \end{eqnarray*}$

erhält.

Aber würde sich dann an meinem "Rechenproblem" etwas ändern?

Gruß,
Matthias

05.06.2011, 21:55

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider werde ich aus der Aufgabenformulierung auch nicht weiter schlau. Was mir nach Rücksprache mit einem dritten einfallen würde, wäre $\begin{eqnarray*} \psi \colon \mathbb C [G] \to \mathbb C[G]^U, ~ f \mapsto \frac{1}{|U|} \sum_{u \in U} u \cdot f \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Das ist ein Schnitt der Inklusion $\begin{eqnarray*} i \colon \mathbb C[G]^U \hookrightarrow \mathbb C[G] \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} i \circ \psi = \mathrm{id}_{\mathbb C[G]^U} \end{eqnarray*}$ , aber keine Umkehrabbildung.

05.06.2011, 22:02

Matthias20

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann muss wohl was bei der Aufgabenstellung schief gelaufen sein. Ich werde die Aufgabe daher nicht mehr weiter bearbeiten.

Vielen Dank für deine Erklärungen!

Gruß,
Matthias

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »