Fußballliga-Demo

12.12.2006, 11:27

f(x)

Fußballliga-Demo

Hallo!

Ich habe folgendes Problem:

Angenommen, es gibt in der Fußballbundesliga nur gleichstarke Mannschaften. (Anzahl=18)
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Spiel die Heimmannschaft siegt, sei 3/8.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Spiel die Gastmannschaft siegt, sei auch 3/8.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel unentschieden endet, sei dann 1/4.
Bei einem Sieg gibt es 3 Punkte, Unentschieden 1 Punkt, Niederlage 0 Punkte.
Jede Mannschaft spielt zweimal gegen jede andere.

Wie lässt sich die Verteilungsfunktion berechnen?
Die Funktion soll zu jeder Punktzahl die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieser Punktzahl liefern.

Mit der Binomialverteilung lässt sich dies ja leider nicht berechnen, da hier ja 3 Ergebnisse vorkommen.

Ich habe mal eine Demo programmiert.
Da fiel mir auf, dass die Punktzahlen doch ziemlich variierten.

12.12.2006, 11:39

bil

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hi...
falscher ansatz, unten ist der verbesserte
es handelt sich ja nur um 2 spiele. einfach für jeden ausgang die wahrscheinlichkeit berechnen.
X=anzahl der punkte nach 2 spielen.

z.b.: die wahrscheinlichkeit 0 punkte zu erhalten ist:

$\begin{eqnarray*} P(X=0)=\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

und das machst du jetzt für die anderen fälle auch.

gruss bil

edit: sehe gerade ein fehler. es spielt ja jede gegen jede... oh mann... verbessere ich gleich

ok den rest oben kannst du vergessen.
jede mannschaft spielt also 17 bzw. 34 spiele.(ich geh mal von der normalen bundesliga aus)
dann wäre hier:

$\begin{eqnarray*} P(X=0)=\left(\frac{3}{8}\right)^{34} \end{eqnarray*}$

das war dir aber vermutlich auch vorher schon klar. mir fällt jetzt keine gute idee ein um die wahrscheinlichkeiten schnell zu berechnen. hab erst an die multinomialverteilung gedacht aber mit der läufts auch nicht wirklich schneller. verwirrt

12.12.2006, 20:21

f(x)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast recht, das war mir auch schon klar!
Ich bräuchte noch clevere Gedanken, wie man zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass jemand zB. 3 Punkte holt.

12.12.2006, 20:36

bil

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ich hab mal ein programm geschrieben. werde dir gleich mal die ausgabe posten.
clever gelöst ist es damit natürlich nicht. programm benutzt die multinomialverteilung, siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Multinomialverteilung

gruss bil

12.12.2006, 20:39

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würd's kurz durch den Rechner jagen mit einer Faltungsrekursion a la

3 würfel: 10 erscheint öffter als 9

Start: $\begin{eqnarray*} P(S_0=k) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; k=0\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Iteration: $\begin{eqnarray*} P(S_n=k) = \frac{1}{8}\left[3P(S_{n-1}=k-3)+2P(S_{n-1}=k-1)+3P(S_{n-1}=k)\right] \end{eqnarray*}$

Und das ganze bis $\begin{eqnarray*} S_{34} \end{eqnarray*}$ .

Man kann's natürlich auch approximieren mit dem ZGWS.

12.12.2006, 20:48

f(x)

Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau ist eine Faltungsrekursion?

12.12.2006, 20:55

bil

Auf diesen Beitrag antworten »

mit deiner faltungsformel wollte ich es erst auch machen, hab da am ende aber nicht mehr durchgeblickt. mit meinem anderen programm (augensumme berechnen) hat mein rechner das nicht richtig gepackt bzw. hat mir zulange gedauert. jetzt hab ich es so gelöst:

$\begin{eqnarray*} X=anzahl ~ der ~ punkte \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_1=anzahl ~ der ~ nullen \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_2=anzahl ~ der ~ einsen \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_3=anzahl ~ der ~ dreien \end{eqnarray*}$

also um die wahrscheinlichkeit von z.b. $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ zu berechnen hab einfach geschaut welche werte $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ folgende bedingungen erfüllen

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=34 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0*x_1+x_2+3*x_3 = k \end{eqnarray*}$

das wären dann z.b. für P(X=3)
(33,0,1) und (31,3,0)

dann ergibt sich allgemein die wahrscheinlichkeit:

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=\sum_{bed}P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3) \end{eqnarray*}$

mit bed = die bedingen von oben.

und

$\begin{eqnarray*} P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3)=multinomialformel \end{eqnarray*}$

ich sehe schon kommen, dass sich da irgendwo ein fehler eingeschlichen hat Augenzwinkern

.
hier die wahrscheinlichkeiten:

code:

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104:

 P(X=0) = 0.000000 
 P(X=1) = 0.000000 
 P(X=2) = 0.000000 
 P(X=3) = 0.000000 
 P(X=4) = 0.000000 
 P(X=5) = 0.000000 
 P(X=6) = 0.000000 
 P(X=7) = 0.000000 
 P(X=8) = 0.000000 
 P(X=9) = 0.000000 
 P(X=10) = 0.000000 
 P(X=11) = 0.000000 
 P(X=12) = 0.000000 
 P(X=13) = 0.000001 
 P(X=14) = 0.000001 
 P(X=15) = 0.000003 
 P(X=16) = 0.000006 
 P(X=17) = 0.000012 
 P(X=18) = 0.000023 
 P(X=19) = 0.000041 
 P(X=20) = 0.000072 
 P(X=21) = 0.000123 
 P(X=22) = 0.000204 
 P(X=23) = 0.000329 
 P(X=24) = 0.000516 
 P(X=25) = 0.000790 
 P(X=26) = 0.001181 
 P(X=27) = 0.001724 
 P(X=28) = 0.002460 
 P(X=29) = 0.003433 
 P(X=30) = 0.004690 
 P(X=31) = 0.006275 
 P(X=32) = 0.008224 
 P(X=33) = 0.010566 
 P(X=34) = 0.013311 
 P(X=35) = 0.016449 
 P(X=36) = 0.019947 
 P(X=37) = 0.023744 
 P(X=38) = 0.027752 
 P(X=39) = 0.031859 
 P(X=40) = 0.035929 
 P(X=41) = 0.039815 
 P(X=42) = 0.043364 
 P(X=43) = 0.046426 
 P(X=44) = 0.048868 
 P(X=45) = 0.050579 
 P(X=46) = 0.051483 
 P(X=47) = 0.051542 
 P(X=48) = 0.050757 
 P(X=49) = 0.049170 
 P(X=50) = 0.046862 
 P(X=51) = 0.043941 
 P(X=52) = 0.040539 
 P(X=53) = 0.036799 
 P(X=54) = 0.032868 
 P(X=55) = 0.028885 
 P(X=56) = 0.024978 
 P(X=57) = 0.021251 
 P(X=58) = 0.017789 
 P(X=59) = 0.014650 
 P(X=60) = 0.011869 
 P(X=61) = 0.009459 
 P(X=62) = 0.007414 
 P(X=63) = 0.005716 
 P(X=64) = 0.004333 
 P(X=65) = 0.003230 
 P(X=66) = 0.002366 
 P(X=67) = 0.001704 
 P(X=68) = 0.001206 
 P(X=69) = 0.000838 
 P(X=70) = 0.000573 
 P(X=71) = 0.000384 
 P(X=72) = 0.000253 
 P(X=73) = 0.000163 
 P(X=74) = 0.000103 
 P(X=75) = 0.000064 
 P(X=76) = 0.000039 
 P(X=77) = 0.000023 
 P(X=78) = 0.000014 
 P(X=79) = 0.000008 
 P(X=80) = 0.000004 
 P(X=81) = 0.000002 
 P(X=82) = 0.000001 
 P(X=83) = 0.000001 
 P(X=84) = 0.000000 
 P(X=85) = 0.000000 
 P(X=86) = 0.000000 
 P(X=87) = 0.000000 
 P(X=88) = 0.000000 
 P(X=89) = 0.000000 
 P(X=90) = 0.000000 
 P(X=91) = 0.000000 
 P(X=92) = 0.000000 
 P(X=93) = 0.000000 
 P(X=94) = 0.000000 
 P(X=95) = 0.000000 
 P(X=96) = 0.000000 
 P(X=97) = 0.000000 
 P(X=98) = 0.000000 
 P(X=99) = 0.000000 
 P(X=100) = 0.000000 
 P(X=101) = 0.000000 
 P(X=102) = 0.000000

edit: fehler verbessert

12.12.2006, 22:00

Auf diesen Beitrag antworten »

Für Genauigkeitsfetischisten hier die exakte Verteilung in der Angabe $\begin{eqnarray*} Q(k) = 8^{34}\cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$ :

code:

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Q(  0) = 16677181699666569
Q(  1) = 378016118525775564
Q(  2) = 4158177303783531204
Q(  3) = 30136285004693774130
Q(  4) = 165249046183693665996
Q(  5) = 744159730810445288064
Q(  6) = 2895096724077770979129
Q(  7) = 10033744577445767268288
Q(  8) = 31598862035329625471424
Q(  9) = 91738099347094020981600
Q( 10) = 248217405730891490684736
Q( 11) = 631070138455931695024512
Q( 12) = 1517337669078113606249832
Q( 13) = 3468483626183667951384096
Q( 14) = 7570439526147223969043424
Q( 15) = 15833305593266214054426480
Q( 16) = 31828140431982405772661664
Q( 17) = 61655080204984975208691840
Q( 18) = 115347509015036500468533960
Q( 19) = 208820710876011029900698176
Q( 20) = 366444446309191659587289408
Q( 21) = 624254234419786739468486688
Q( 22) = 1033741925803654570779613632
Q( 23) = 1666016521903606637060636544
Q( 24) = 2615918645081771162585781516
Q( 25) = 4005552467926833603184305360
Q( 26) = 5986485386074843305649850736
Q( 27) = 8739613939831258579450252920
Q( 28) = 12471871610104002171998548560
Q( 29) = 17408978475244968962668374144
Q( 30) = 23783365791272031888922118316
Q( 31) = 31817445416916825132204889536
Q( 32) = 41702822485209887016850034112
Q( 33) = 53575942432884832687621996896
Q( 34) = 67492821163422092338577308480
Q( 35) = 83405644970419774033700068224
Q( 36) = 101142674015428896465466233528
Q( 37) = 120396079470958479740611765728
Q( 38) = 140720685633584418441491606304
Q( 39) = 161542598034070479937011806736
Q( 40) = 182181745970801656250409802080
Q( 41) = 201887729186980394030581063296
Q( 42) = 219881927141441231679897591960
Q( 43) = 235408479971364715935642338880
Q( 44) = 247788650013127630460263427904
Q( 45) = 256466473223680511801305911072
Q( 46) = 261051003942105677253477999552
Q( 47) = 261347524877118237205690528128
Q( 48) = 257366189405863148268578868486
Q( 49) = 249321873189861126714721738824
Q( 50) = 237617902726857835583315233176
Q( 51) = 222807515009741041051265942700
Q( 52) = 205555912351645665076267400136
Q( 53) = 186593584784469046592777043840
Q( 54) = 166660454164694787100729392390
Q( 55) = 146466476885812474408551117120
Q( 56) = 126652767464957297166542134080
Q( 57) = 107756629422560984018579991840
Q( 58) = 90200967169320423142247286720
Q( 59) = 74284946248795066091270874240
Q( 60) = 60182764775588775210804195480
Q( 61) = 47961879224151254337785921760
Q( 62) = 37595788107475246191040338720
Q( 63) = 28982350411140592009857511440
Q( 64) = 21970493857939843473832982880
Q( 65) = 16375717648310968894845444480
Q( 66) = 11998184363172571685216723640
Q( 67) = 8640559704289042627677063360
Q( 68) = 6114841757252160460299794880
Q( 69) = 4251181989031356670062899040
Q( 70) = 2903219189134069090484232000
Q( 71) = 1946864214188109823641851520
Q( 72) = 1281477153074926774938564780
Q( 73) = 827930495539617341512124880
Q( 74) = 524683753456775049372731760
Q( 75) = 326036637778672914642899064
Q( 76) = 198662056202173375924724304
Q( 77) = 118553344456218790344729984
Q( 78) = 69287948875374744087299340
Q( 79) = 39655277986230151233950016
Q( 80) = 22177190897732065269996864
Q( 81) = 12133459903027290409242144
Q( 82) = 6486459147013476165340608
Q( 83) = 3377488036694869863241344
Q( 84) = 1719897405931039877716680
Q( 85) = 851756110696880714308896
Q( 86) = 409448429459402129245152
Q( 87) = 192688977994246482586992
Q( 88) = 87176249917237838164896
Q( 89) = 38346403082358111168384
Q( 90) = 16492221002524812918120
Q( 91) = 6645691370846923648704
Q( 92) = 2673553999766003766720
Q( 93) = 1016443340924863183200
Q( 94) = 352367024853952570176
Q( 95) = 133061673721072998528
Q( 96) = 38925159760418055993
Q( 97) = 12474531911350593612
Q( 98) = 4158177303783531204
Q( 99) = 567024177788663346
Q(100) = 378016118525775564
Q(101) = 0
Q(102) = 16677181699666569

12.12.2006, 22:07

bil

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du schaffst es immer wieder mich in den schatten zu stellen Big Laugh

nach vergleich mit ein paar von deinen werten scheint wenigstens mein programm zu funzen. immerhin etwas Augenzwinkern

12.12.2006, 22:12

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Wobei die angegebene Genauigkeit sehr realistisch ist bei Betrachtung der realen Fußballliga. Big Laugh

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