Komplexe orthogonale Projektion

31.05.2011, 11:43	GLn	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe orthogonale Projektion Sei V = $\begin{eqnarray} \mathbb C^{3} \end{eqnarray}$ der unitäre Standardraum der Dimension 3 und sei U := $\begin{eqnarray} {x \in V \| x_{1} + ix_{2} - ix_{3} = 0} \end{eqnarray}$ Bestimmen sie die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion von V auf U bezüglich der Standardbasis. Hab hier nicht wirklich einen brauchbaren Ansatz. Was ist denn die Komplexe Standardbasis, <(1+i, 0, 0), (0, 1+i, 0), (0, 0, 1+i)> ? Im reellen gingen wir von einem Skalarprodukt aus, mussten eine Basis des Untervektorraums suchen, orthonormalisieren.
31.05.2011, 17:20	GLn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nun gelesen, dass < $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 2i \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ > eine Orthonormalbasis meines Untervektorraumes ist. Damit konnte ich die Aufgabe auch problemlos lösen. Nur wie kommt man auf diese Basis bzw. überhaupt auf eine Basis, welche man dann normalisieren kann?
03.06.2011, 13:52	Ast2001	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, naja du brauchst für die orthonormalbasis ja zwei orthogonale vektoren die in U liegen. Also wählst du erstmal den einfachsten (0,1,1) der ja eindeutig in U liegt. der andere muss dann dazu orthogonal sein. Also (x1, -1, 1) (damit dass skalarprodukt null ist) also ist x1 nach der definition von U gleich 2i. nun werden die Vektoren noch normiert und heruas kommt deine orthonormalbasi. leider weiß ich nun nicht wie du die aufgabe ab da gelöst hast. muss sie nämlich auch gerade lösen und weiß nicht weiter- viele grüße
03.06.2011, 17:42	Mr. Floppy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten doch in der (glaube letzten) Vorlesung aufgeschrieben, dass wenn (u_1,u_2, ... ,u_N) eine ONB von U ist dann gilt p(v)="Summe von 1 bis N" <u_i,v >u_i. Das kann man sich für ein beliebiges v schnell ausrechnen, dann noch das gleiche v mit einer 3x3 Matrix ( mit lauter unbekannten Einträgen ) ausmultiplizieren und durch Koef-vgl. die unbekannten Einträge ermitteln. Das Problem ist nur, dass ich glaube, dass es nicht bzgl. der Standardbasis ist.
28.07.2011, 13:41	Erdinger	Auf diesen Beitrag antworten »
Was mir hier nicht ganz klar ist: Wenn ich die obige ONB habe und meine orthogonale Projektion $\begin{eqnarray} v \to <u_1, v>u_1 + <u_2,v>u_2 \end{eqnarray}$ lautet, warum ist meine Darstellungsmatrix dann eine 3x3? Könnte mir jemand vllt. mal zeigen, wie man die Matrix erstellt?

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