Funktionsfolge und Integration, punktweise Konvergenz

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31.05.2011, 16:00	terri	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsfolge und Integration, punktweise Konvergenz Hi, hier eine wundervolle Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f_n : [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_n(x) = 2n^2x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \leq \frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_n(x) = 2n-2n^{2}x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in (\frac{1}{2n}, \frac{1}{n} \rbrack \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_n(x) = 0, sonst \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ auf [0,1] punktweise gegen eine stetige Funktion f konvergiert. b) Bestimmen sie $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) dx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(x) dx \end{eqnarray}$ c) Warum ist das Theorem das majorisierten Konvergenz nicht anwendbar. Meine Idee: Anschaulich ist mir das ganze noch nicht wirklich klar: Bei x=0 ist die Funktionsfolge immer 0, dann bei $\begin{eqnarray} x= \frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ scheint sie für n gegen unendlich auch gegen unendlich zu gehen, für von obend kommend scheint der Grenzwert an dieser Stelle aber gegen $\begin{eqnarray} - \infty \end{eqnarray}$ zu gehen., und bei $\begin{eqnarray} x = 1/n \end{eqnarray}$ ist die Funktion dann Null. Irgendwie ist mir völlig unklar, gegen welche STETIGE Funktion diese ganze Konstruktion konvergieren soll. zu b) siehts schon etwas besser aus - wenn man das Integral über die Folge zerlegt in die einzelnen Intervalle, ergibt sich leicht das $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} f_{n}(x) dx = 0,5 \forall n \end{eqnarray}$ , also ist auch der Grenzwert 0,5. Den Aufgabenteil c würde ich erst diskutieren, wenn überhaupt die passende Funktion gefunden ist. Da meine Kommilitonen auch keine wirkliche Idee haben, wäre nicht nur ich über Hilfe und Tipps dankbar.
31.05.2011, 16:20	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, welche Intervalle kommen in den drei Fällen jeweils heraus, wenn du n gegen Unendlich schickst? Das ist der Schlüssel zum Erfolg.
31.05.2011, 17:50	terri	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich n gegen unendlich schicke, werden beide Integrale beliebig klein, damit wäre die gesuchte stetige Funktion f(x)=0 Demzufolge würde $\begin{eqnarray} \int_0^1 0 dx = 0 \end{eqnarray}$ gelten, damit wären die beiden Integrale unterschiedlich. Das Theorem der majorisierten Konvergenz kann man nicht anwenden, weil $\begin{eqnarray} f_n \leq g \forall n \end{eqnarray}$ auf [0,1] nicht gilt? (g soll die Majorante sein). Wenn dem so wäre, ist die Aufgabe ja relativ einfach.
31.05.2011, 17:55	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sprach nicht von den Integralen, sondern von den Intervallen in der Definition der Funktionenfolge. Ich möchte dich also noch in die richtige Richtung der Grenzfunktion schubsen. Edit: Die Integrale sind aber wirklich unterschiedlich, stimmt.
31.05.2011, 18:07	terri	Auf diesen Beitrag antworten »
ich befürchte bei meiner masse benötigt es einem sehr kräftigen Stoß Ich habe schon überlegt, dass die Funktion im ersten Intervall offensichtlich immer am Intervall-ende bei $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ am größten ist, als Funktionswert ergibt sich $\begin{eqnarray} f_n=n \end{eqnarray}$ und geht damit gegen unendlich, gleichzeitig näher sich diese Stelle auch immer mehr der Stelle x=0 an. Dort muss der Funktionswert aber 0 sein, weil 0*irgendwas = 0. Damit sehe ich irgendwie nicht, wie f stetig sein kann.
31.05.2011, 18:14	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, dann hole ich mal aus. Schau dir mal die drei Intervalle an, die in der Definition genutzt werden: $\begin{eqnarray} \left[0, \frac{1}{2n}\right], \, \left( \frac{1}{2n}, \frac{1}{n}\right], \, \left(\frac{1}{n}, 1\right] \end{eqnarray}$ Lass jetzt mal nun n gegen Unendlich laufen, welche Intervalle stehen dann da?
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31.05.2011, 18:22	terri	Auf diesen Beitrag antworten »
[0,0], (0,0], (0,1] ? Sieht nicht gerade so aus, als wäre das mathematisch exakt.
31.05.2011, 19:00	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakt, na ja, vielleicht ein wenig komisch aufgeschrieben. Jedenfalls nicht falsch. Welche Zahlen sind denn kleiner gleich Null und gleichzeitig größer gleich Null? Ergo: [0,0] = ? Welche Zahl ist sowohl echt größer als Null und gleichzeitig kleiner gleich Null? Ergo: (0,0] = ? Und (0,1] ist gut, ne?
31.05.2011, 19:12	terri	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} [0,0]=\{0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (0,0] = \emptyset \end{eqnarray}$ Demnach würde sich das dritte Intervall über alles erstrecken, außer auf den Punkt Null, und dort ist die Funktion sowieso Null. Also hatte ich mit f(x)=0 recht, jetzt bin ich mir aber sicher! Und so kann ich das formal auch einigermaßen elegant formulieren.
31.05.2011, 19:33	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wunderbar! Fehlt nur noch die majorisierte Konvergenz. Guck dir mal den Wiki-Eintrag dazu an, dort gibt es ein ähnliches Beispiel.
31.05.2011, 19:46	terri	Auf diesen Beitrag antworten »
die majorisierte Konvergenz habe ich grade selber sehr gut hinbekommen: Da $\begin{eqnarray} f_n(\frac{1}{2n})=n \end{eqnarray}$ gilt, muss $\begin{eqnarray} g(x) \geq \frac{1}{2x} \end{eqnarray}$ gelten. Und da wir in der vorlesung gezeigt hatten, das $\begin{eqnarray} \int_0^1 \frac{1}{x} dx \end{eqnarray}$ konvergiert, kann g nicht integrierbar auf [0,1] sein und somit sind die Vorrausetzungen nicht erfüllt. Dankeschön Ist das eigentlich eine "Standardaufgabe", oder sieht man das später einfach so?
31.05.2011, 20:19	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein angegebenes Integral konvergiert nicht, deine Argumentation zeigt auch, dass du eigentlich divergieren meinst. Woher kommt denn nun 1/(2x)? Wenn schon, müsste g >= n sein, würde ich sagen. Aber n divergiert für n gegen Unendlich, so dass das Ergebnis das gleiche ist. So etwas ist eigentlich eine Standardaufgabe, aber sofort muss man die Lösung trotzdem nicht sehen. Kommt mit der Zeit.

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