Modulo Kongurenz

31.05.2011, 17:46

Falcao

Modulo Kongurenz

Beweisen sie:
Seien m,n, d natürliche Zahlen \1 und a,b ganze Zahlen, dann gilt:
Wenn $\begin{eqnarray*} a \equiv b \end{eqnarray*}$ mod m und d teilt m, dann auch $\begin{eqnarray*} a \equiv b \end{eqnarray*}$ mod d!

Mein Problem ist glaube ich ein grundsätzliches Verständnis bzw Denkfehler...
Nur mal angenommen:
25 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 5 mod 10; 2|10 dann auch 25 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 5 mod 2

Der letzte Teil stimmt jedoch nicht, da 25 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 1 mod 2...
Habe ich eas grundsätzliches falsch verstanden? Habe seit heute das erste mal mit Modulo zu tun und im Netz ne brauchbare Erklärung zu finden ist gar nicht so einfach...

Lg

31.05.2011, 20:44

Pascal95

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Moin,

Zitat:

Nur mal angenommen:
25 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 5 mod 10; 2|10 dann auch 25 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 5 mod 2
Der letzte Teil stimmt jedoch nicht, da 25 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 1 mod 2...

Doch, das stimmt.

$\begin{eqnarray*} a \equiv b \mod m \end{eqnarray*}$ gilt ja genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ den selben Rest bei der Division durch $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ lässt wie $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} 25 \equiv 5 \mod 10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2|10 \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} 25 \equiv 5 \mod 2 \end{eqnarray*}$ ist ja richtig.

Denn 25 lässt bei Division durch 2 den Rest 1 (genauso wie 1 oder wie 5).

01.06.2011, 16:04

Falcao

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Könntest du den Teil noch einmal genauer erklären:

Zitat:

Denn 25 lässt bei Division durch 2 den Rest 1 (genauso wie 1 oder wie 5).

Das in der Klammer verwirrt mich etwas Augenzwinkern

Heißt das, dass sowohl $\begin{eqnarray*} 25 \equiv 5 \end{eqnarray*}$ mod 2 als auch $\begin{eqnarray*} 25 \equiv 1 \end{eqnarray*}$ mod 2 stimmt?[/latex]

Oder wie soll ich das verstehen? Danke schonmal

01.06.2011, 16:23

Pascal95

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Ja.

Schau dir mal die Definition der Modulo Rechnung an.

Man kann auch sagen:
Wenn $\begin{eqnarray*} a\equiv b \mod m \end{eqnarray*}$ und man kennt $\begin{eqnarray*} c=a\mod m \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} c=b\mod m \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist sogar irrelevant, welcher Rest bei der Division entsteht.

Aber zum Verständnis:
Welcher Rest entsteht denn bei $\begin{eqnarray*} 25/2 \end{eqnarray*}$ , bei $\begin{eqnarray*} 5/2 \end{eqnarray*}$ oder bei $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ ?
Wenn es immer der selbe ist, dann hast du ja schon gezeigt, dass die Kongruenz gilt.

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