Ungleichung von Tschebyscheff

31.05.2011, 19:46

Isabell987

Ungleichung von Tschebyscheff

Eine Zufallsvariable hat den Erwartungswert E(x)=10 und die var(X)=36. Bestimmen sie ein Intervall indem die Werte von X mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% liegen. Begründen sie, warum die Ungleichung von Tschebyscheff nur für k>1 sinnvoll ist.

1-1/k²=0.75

dann kommt man auf k=2...

->als Intervall soll rauskommen x kleiner als 22 und größer gleich -2...also wie man auf die 22 das ist ja klar

also da rechnet man P(x-10)< 2*6 dann die 10 rüberbringen..

aber wie kommt man auf die -2 ??

31.05.2011, 23:01

Math1986

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RE: Ungleichung von Tschebyscheff

Zitat:

Original von Isabell987
Eine Zufallsvariable hat den Erwartungswert E(x)=10 und die var(X)=36. Bestimmen sie ein Intervall indem die Werte von X mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% liegen. Begründen sie, warum die Ungleichung von Tschebyscheff nur für k>1 sinnvoll ist.

1-1/k²=0.75

dann kommt man auf k=2...

->als Intervall soll rauskommen x kleiner als 22 und größer gleich -2...also wie man auf die 22 das ist ja klar

also da rechnet man P(x-10)< 2*6 dann die 10 rüberbringen..

aber wie kommt man auf die -2 ??

Du hast bei "1-1/k²=0.75" die Varianz vergessen, danach hast du dich irgendwo verrannt

Also nach Tschebyschow gilt ja:
$\begin{eqnarray*} P\left(|X-E(X)|\leq k\right)\geq1-\frac{Var(X)}{k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left(|X-10|\leq k\right)\geq1-\frac{36}{k^2}=0,75 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} k=12 \end{eqnarray*}$

Also setzen wir k ein:
$\begin{eqnarray*} P\left(|X-10|\leq 12\right)\geq 0,75 \end{eqnarray*}$

Es ist
$\begin{eqnarray*} |X-10|\leq 12 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} -12\leq X-10 \leq 12 \end{eqnarray*}$
Umstellen liefert die Behauptung

01.06.2011, 08:15

Isabell987

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also das mit K=2 das müsste schon richtig sein...laut Lösungen...

hatte mich jetzt nur gefragt wie man auf die intervallgrenzen kommt...

also 22 ist mir wie gesagt klar nur die -2 eben nicht..

01.06.2011, 09:52

Math1986

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Zitat:

Original von Isabell987
also das mit K=2 das müsste schon richtig sein...laut Lösungen...

Nein, ist es nicht, und ich habe auch vorgerechnet weshalb..oder kannst du mir erklären wie du auf "1-1/k²=0.75" kommst?

Also noch einmal: sieh dir doch einfach mal die Tschebyschow-Ungleichung selbst an: Da steht auf der rechten Seite eine Varianz, bei dir nicht

Zitat:

Original von Isabell987
hatte mich jetzt nur gefragt wie man auf die intervallgrenzen kommt...

also 22 ist mir wie gesagt klar nur die -2 eben nicht..

Ich habe es doch bereits vorgerechnet..

Also noch einmal:
$\begin{eqnarray*} |X-10|\leq 12 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} -12\leq X-10 \leq 12\Rightarrow -2\leq X\leq 22 \end{eqnarray*}$
Umstellen liefert die Behauptung

Und NEIN 22 scheint dir auch nicht klar zu sein, zumindest stimmt deine Rechnung nicht

Ich stimme mit der Lösung insofern überein als dass ich als Endergebnis auf die selben Intervallgrenzen komme, k=2 ist aber falsch

01.06.2011, 13:31

Isabell987

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sorry hab mich grad nochmal intensiv damit auseinander gesetzt smile

und kann das jetzt richtig nachvollziehen smile

danke hast mir sehr geholfen..

hatte mich zu sehr auf die k=2 fixiert...man sollte ja auch meinen dass in Büchern eigentlich die richtigen Endergebnisse stehen und nicht falsche...

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