Drei-Würfel-Problem

31.05.2011, 22:11

Pascal95

Drei-Würfel-Problem

Hallo,

ihr kennt ja sicherlich das sogenannte "Drei-Würfel-Problem".

Dabei soll widerlegt werden, dass die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 11 gleich der Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12 ist.

Dazu gibt es jeweils 6 verschiedene Möglichkeiten, auf 11 oder auf 12 zu kommen:

11: $\begin{eqnarray*} \left\{ 1,4,6 \right\}, \left\{ 1,5,5 \right\}, \left\{ 2,3,6 \right\}, \left\{ 2,4,5 \right\}, \left\{ 3,3,5 \right\}, \left\{ 3,4,4 \right\} \end{eqnarray*}$

12: $\begin{eqnarray*} \left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun, warum man hier nicht Anzahl der günstigen Fälle durch Anzahl der möglichen Fälle teilen darf (Laplace-Wkt.).

Da es für einen Würfelwurf 6 Möglichkeiten gibt, so gibt es für drei Würfe $\begin{eqnarray*} 6^3 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten (für den ersten 6, für den zweiten 6, für den dritten 6, Kombinationen: Multiplizieren.). Stimmt das?

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{6^3}=6^{1-3}=6^{-2}=\frac1{36} \text{ ?} \end{eqnarray*}$

Was mache ich hier falsch?
Ich habe gehört, die Ereignisse seien nicht gleichverteilt/gleichwahrscheinlich?

31.05.2011, 22:29

Math1986

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RE: Drei-Würfel-Problem
Die Ereignisse sind auch nicht gleichwahrscheinlich, also kein Laplace-Versuch

Bspw. kannst du {3,4,5} auf 3! verschiedene Arten hintereinander anordnen: (3,4,5), (3,5,4),....
Für {4,4,4} gibt es hingegen nur eine Anordnung, nämlich (4,4,4)

Wenn du das schon als einen Laplace-Versuch auffasst, dann betrachte die Elementarereignisse aus $\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{1,...,6\right\}^3 \end{eqnarray*}$ als geordnete Kominationen.

31.05.2011, 23:04

Pascal95

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Hallo,

die Möglichkeiten für die Augensumme 11 setzt sich doch so zusammen?
$\begin{eqnarray*} \left\{ 1,4,6 \right\}, \left\{ 1,5,5 \right\}, \left\{ 2,3,6 \right\}, \left\{ 2,4,5 \right\}, \left\{ 3,3,5 \right\}, \left\{ 3,4,4 \right\} \end{eqnarray*}$
... $\begin{eqnarray*} 3!+\frac{3!}{2!}+3!+3!+\frac{3!}{2!}+\frac{3!}{2!} \end{eqnarray*}$

und für 12:
$\begin{eqnarray*} \left\{ 1,5,6 \right\}, \left\{ 2,4,6 \right\}, \left\{ 2,5,5 \right\}, \left\{ 3,3,6 \right\}, \left\{ 3,4,5 \right\}, \left\{ 4,4,4 \right\} \end{eqnarray*}$
... $\begin{eqnarray*} 3!+3!+\frac{3!}{2!}+\frac{3!}{2!}+3!+1 \end{eqnarray*}$

Richtig so?

31.05.2011, 23:06

Math1986

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Nicht ganz - bei {4,4,4} gibt es offensichtlich nur eine Anordnung Augenzwinkern

sonst ist es richtig

31.05.2011, 23:11

Pascal95

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Achja, klar. sorry. (habe es editiert)

Wie kann ich nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Augensumme 11 bzw. 12 beträgt. Ich habe gelernt, dass häufig versucht wird, ein Experiment auf Laplace zurückzuführen, weil man dann einfach rechnen kann.
Geht das hier auch? (glaube ja Big Laugh

)

Dann könnte man doch die Ergebnisse durch $\begin{eqnarray*} 6^3 \end{eqnarray*}$ jeweils teilen ?

31.05.2011, 23:19

Math1986

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Zitat:

Original von Pascal95
Wie kann ich nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Augensumme 11 bzw. 12 beträgt. Ich habe gelernt, dass häufig versucht wird, ein Experiment auf Laplace zurückzuführen, weil man dann einfach rechnen kann.
Geht das hier auch? (glaube ja Big Laugh

)

Dann könnte man doch die Ergebnisse durch $\begin{eqnarray*} 6^3 \end{eqnarray*}$ jeweils teilen ?

Ja, das ist richtig, die Anzahl günstiger Ereignisse hast du ja im vorherigen Beitrag berechnet, die Gesamtzahl $\begin{eqnarray*} 6^3 \end{eqnarray*}$ stimmt auch

31.05.2011, 23:37

Pascal95

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Sehr gut.. Da bin ich glücklich smile

Dann hätten wir P(11) nenn ich das mal:

$\begin{eqnarray*} P(11):=\frac{3!+\frac{3!}{2!}+3!+3!+\frac{3!}{2!}+\frac{3!}{2!}}{6^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(12):=\frac{3!+3!+\frac{3!}{2!}+\frac{3!}{2!}+3!+1}{6^3} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} P(11)=\frac{1}{8}=12,5% \end{eqnarray*}$ (siehe Wolfram hier)
Und $\begin{eqnarray*} P(12)=\frac{25}{216}\approx 11,57% \end{eqnarray*}$ (siehe Wolfram hier)

01.06.2011, 09:50

Math1986

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Zitat:

Original von Pascal95
Sehr gut.. Da bin ich glücklich smile

Ja, das sieht richtig aus smile

01.06.2011, 16:25

Pascal95

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...dann möchte ich mich für deine Hilfe bedanken smile

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