Nebenklassen, Repräsentantensystem

31.05.2011, 22:12	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Nebenklassen, Repräsentantensystem *Aufgabe:* Es ist $\begin{eqnarray} ( \mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} ( \mathbb Q,+) \end{eqnarray}$ . Geben Sie ein Vertretersystem für die Linksnebenklassen von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ an. Ok, nochmal zum Verständnis: Die Linksnebenklassen sind die Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ addiert/multipliziert (hier bin ich mir nicht sicher) mit jeweils immer einem Element aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . D.h. so hab ich mir die Linksnebenklassen vorgestellt: $\begin{eqnarray} \mathbb Q_{/\mathbb Z} = \{ \frac{p}{q} \cdot \mathbb Z \| p,q \in \mathbb Z, q \not= 0 \} \end{eqnarray}$ Naja, erste Frage also, ob das überhaupt richtig ist? Weil eigentlich sollten ja in zwei verschiedenen Äquivalenzklassen keine gleichen Elemente vorkommen, was in meiner Definition der Nebenklassen ja doch der Fall wäre? Und ja, das Vertretersystem kann ich dementsprechend auch noch nicht bestimmen Kann mir jemanden einen Tipp geben der vllt auch zum Verständnis beiträgt? Wäre dafür dankbar
31.05.2011, 22:23	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sind additiv, also haben die Nebenklassen die Form $\begin{eqnarray} r + \mathbb Z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} r \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Ein Repräsentantensystem zu finden bedeutet, eine Menge von paarweise nicht äquivalenten Elementen anzugeben, deren Äquivalenzklassen vereinigt ganz $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ergeben. Wann sind denn in unserem Fall zwei rationale Zahlen $\begin{eqnarray} p,r \end{eqnarray}$ äquivalent?
31.05.2011, 22:30	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, wenn sie eine ganze Zahl als Abstand haben? Also ich meine z.B. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ . Sowas hab ich mir auch schon überlegt, dass man nur alle rationale zahlen zwischen 0 und 1 nimmt, weil dann die ganzen Zahlen dann immer die restlichen Glieder bestimmen... Hoffe dass man versteht was ich meine ^^
31.05.2011, 22:42	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau. Das von Dir gewählte Beispiel ist auch schon recht instruktiv. Wenn wir also ganzzahlige Unterschiede "vergessen", was müssen wir uns dann noch lediglich angucken? Edit: Dein weiterer Gedanke ist genau richtig. Du solltest aber "zwischen 0 und 1" noch präzisieren.
31.05.2011, 22:54	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ entweder im Intervall [0,1) oder (0,1] , weil sonst hat man zwei gleiche Äquivalenzklassen.
31.05.2011, 22:56	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »

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31.05.2011, 23:00	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool D.h. die Nebenklassen werden mit der Gruppenverknüpfung 'drangeknüpft', eigentlich war das die Stelle die ich nicht verstanden hatte... Und den Rest konnte man sich eigentlich überlegen. War eine schöne Übungsaufgabe Danke 42

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