Minimalpolynom über Q, Q[Wurzel 3], Q[Wurzel5],... bestimmen

01.06.2011, 12:11	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom über Q, Q[Wurzel 3], Q[Wurzel5],... bestimmen Hallo, meine Aufgabe besteht darin, das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \sqrt{3}+\sqrt{5} \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Und zwar a) über Q b) über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[\sqrt{3}] \end{eqnarray}$ c) über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[\sqrt{5}] \end{eqnarray}$ d) über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[\sqrt{15}] \end{eqnarray}$ e) über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[\sqrt{10}] \end{eqnarray}$ a) habe ich hinbekommen. Das Minimalpolynom ist ja gerade das Polynom mit dem kleinstmöglichen Grad für das $\begin{eqnarray} \sqrt{3}+\sqrt{5} \end{eqnarray}$ die Nullstelle ist. Hier habe ich mit $\begin{eqnarray} x= \sqrt{3}+\sqrt{5} \end{eqnarray}$ begonnen und umgeformt zu $\begin{eqnarray} (x²-8)²-60=0 \end{eqnarray}$ . Probleme habe ich bei den Aufgaben b) - e) Ich weiß nicht, ob ich das so richtig gelöst habe und würde mich über Tipps freuen: Der Unterschied in den Aufgaben a - e besteht jetzt nur darin, welche Zahlen in diesem Polynom stehen dürfen, richtig? Also in a) dürfen nur Koeffizienten aus Q stehen, in b) Koeffizienten aus Q und die Wurzel 3 in c) Koeffizienten aus Q und die Wurzel 5 in d) Koeffzienten aus Q, Wurzel 15, Wurzel 5 und Wurzel 3 ( da 35=15) in e) Koeffzienten aus Q, Wurzel 10, Wurzel 5 und Wurzel 2 (da 52=10) Hab ich das so richtig verstanden? Für b) komme ich damit auf das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} (x-\sqrt3)^2-5=0 \end{eqnarray}$ und für c) $\begin{eqnarray} (x-\sqrt5)^2-3=0 \end{eqnarray}$ für d) $\begin{eqnarray} x-\sqrt5-\sqrt3=0 \end{eqnarray}$ für e) $\begin{eqnarray} (x-\sqrt{5})² -3=0 \end{eqnarray}$ Schöne Grüße, Duude
01.06.2011, 18:57	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Duude, a), b) und c) sind richtig. Nur d) und e) sind falsch, da sie offensichtlich Koeffizienten besitzen, die nicht im Grundkörper liegen. Anbei - besuchst du zufällig die Algebra-Vorlesung von Prof. Koenig an der Uni Stuttgart? Liebe Grüße, Carsten

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