Folgen und Reihen

01.06.2011, 14:13

dfjg

Folgen und Reihen

Hallo,

komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter:

Gegeben:

Es handelt sich um eine arithmetische Folge.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^4 a_n=42 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=11}^{28} a_n=1719 \end{eqnarray*}$

Gesucht:

$\begin{eqnarray*} a_7 \end{eqnarray*}$ und die Differenz $\begin{eqnarray*} a_9-a_4 \end{eqnarray*}$

Idee:

Hab noch keinen Ansatz gefunden, außer das:

$\begin{eqnarray*} a_1+a_2+a_3+a_4=42 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{11}+a_{12}+a_{13}+...+a_{28}=1719 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{4} 4,2=42 \end{eqnarray*}$

das passt dann aber NICHT mehr bei:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=11}^{28} 4,2=1719 \end{eqnarray*}$

01.06.2011, 14:24

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Summenformel bzw. das Bildungsgesetz (allgemeines Glied) der arith. F. verwenden:

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = [2a_1 + (n-1)d] \frac n 2 \end{eqnarray*}$

Damit ist

$\begin{eqnarray*} (2a_1 + 3d) \cdot 2 = 42 \end{eqnarray*}$

Die zweite Gleichung wird so erstellt:

Die Summe von 18 Gliedern, beginnend mit $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ ist 1719;
$\begin{eqnarray*} a_{11} = a_1 + 10d \end{eqnarray*}$

mY+

01.06.2011, 15:34

dfjg

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss das erst mal verarbeiten.

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \end{eqnarray*}$

Das versteh ich noch ist nichts anderes als die explizite Darstellung einer arithmetischen Folge.

Aber wie ich hier drauf komme versteh ich noch nicht.

$\begin{eqnarray*} s_n = [2a_1 + (n-1)d] \frac n 2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir das 2a und das hoch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ wegdenke
ist es nichts anderes als die erste Gleichung.

01.06.2011, 17:14

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist umgekehrt: In die Summenformel

$\begin{eqnarray*} s_n = (a_1 + a_n) \cdot \frac n 2 \end{eqnarray*}$

wurde die Formel für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

mY+

01.06.2011, 19:20

dfjg

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok.

Wie man auf $\begin{eqnarray*} (2a_1+3d)*2=42 \end{eqnarray*}$ kommt hab ich jetzt auch raus gefunden.

Für n=4 einsetzen (steht im Summenzeichen).

Aber wie man auf $\begin{eqnarray*} a_{11}=a_1+10d \end{eqnarray*}$ kommt ist mir noch nicht klar.

Darf man das nicht genauso machen wie bei der ersten Gleichung ?

Setzt man das etwa einfach hier ein ?

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)*d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(a_{11}-1)*d \end{eqnarray*}$

01.06.2011, 21:26

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dfjg
...
$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(a_{11}-1)*d \end{eqnarray*}$

Nicht so ganz. Sondern

$\begin{eqnarray*} a_{11}=a_1+(11-1) \cdot d=a_1+10d \end{eqnarray*}$

mY+

01.06.2011, 22:02

dfjg

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo klingt logisch.

Jetzt braucht man noch eine dritte Gleichung oder ?

01.06.2011, 22:11

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, du hast ja noch nicht die zweite. Und zwei davon genügen (Unbekannte: a1 und d).
Schau mal nach, was ich dir über diese 2. Gleichung schon geschrieben habe!

mY+

01.06.2011, 23:11

dfjg

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos

Die zweite Gleichung wird so erstellt:

Die Summe von 18 Gliedern, beginnend mit $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ ist 1719;
$\begin{eqnarray*} a_{11} = a_1 + 10d \end{eqnarray*}$

mY+

$\begin{eqnarray*} a_1+10d=1719 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 18a_1+10d+11d+12d+13d+14d+15d+16d+17d+18d+19d+20d+21d+22d+23d+24d+25d+26d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} +27d=1719 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 18a_1+333d=1719 \end{eqnarray*}$

Gleichung1:____ $\begin{eqnarray*} 2a_1+3d=21 \end{eqnarray*}$ ///*(-9)

Gleichung2:_____ $\begin{eqnarray*} 18a_1+333d=1719 \end{eqnarray*}$

(Sorry,ich weiß nicht wie Leerzeichen gehen)

Gleichung1:____ $\begin{eqnarray*} -18a_1-27d=-189 \end{eqnarray*}$

Gleichung2:_____ $\begin{eqnarray*} 18a_1+333d=1719 \end{eqnarray*}$

Gleichung 1+2:_____ $\begin{eqnarray*} 306d=1530 \end{eqnarray*}$ //////:306

$\begin{eqnarray*} d=5 \end{eqnarray*}$

d in Gleichung 1:_____2a_1+3*5=21[/latex]////-15

$\begin{eqnarray*} 2a_1=6 \end{eqnarray*}$ /////:2

$\begin{eqnarray*} a_1=3 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit ?

01.06.2011, 23:50

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt, obgleich umständlich gerechnet. Denn die 2. Gleichung hättest durch 9 kürzen können (!). Die Summe ist nicht mittels "endloser" Addition zu bestimmen, sondern ebenso mit der Summenformel.
-->
Statt a_1 setzen wir eben a_11, und dann ist

[2*a_11 + 17d]*9 = 1719 [bei dieser Summe ist n = 18, die Anzahl der Summanden]

2*a_11 + 17d = 191, und jetzt für a_11 = a1 + 10d setzen
-->
das ergibt letztendlich

2a_1 + 37d = 191

mY+

02.06.2011, 23:17

dfjg

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

hab die Lösung smile

Noch eine Frage:
Bei geometrischen Reihen setzt man wahrscheinlich IN die Summenformel, die explizite Darstellungsform $\begin{eqnarray*} a_n=a_1*q^{n-1} \end{eqnarray*}$ ein.

05.06.2011, 22:38

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da ist es etwas anders.
Die explizite Darstellung (Bildungsgesetz / allgemeines Glied) ist die von dir angegebene Beziehung, die Summenformel aber davon abgekoppelt:

$\begin{eqnarray*} s_n = a_1 \frac {q^n - 1}{q - 1} \end{eqnarray*}$

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Folgen und Reihen

Verwandte Themen