f beschränkt, wenn Teilmenge beschränkt

12.12.2006, 14:55

Buef

f beschränkt, wenn Teilmenge beschränkt

Sei $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Teilemenge und sei $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ eine gleichmäßige stetige Funktion. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beschränkt ist!

Unser Ansatz ist folgender.
Wir nehmen an, dass f nicht beschränkt ist. Dann ex kein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} \mid f(x_1) - f(x_2) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Also das soll heissen, dass die Abstände der Bildpunkte immer größer werden, da f nicht beschränkt ist. Also ist f im Widerspruch zur aufgabenstellung nicht mehr gleichmäßig stetig!

Kann man das so formulieren und wenn ja, wie kann man dieses mathematisch aufschreiben?

12.12.2006, 18:29

Mathespezialschüler

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Die Formulierung ist so auf jeden Fall viel zu allgemein und prinzipiell auch falsch. Zunächst muss man korrekt verneinen:
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zwei Werte $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in D \end{eqnarray*}$ existieren, sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} |x_1-x_2|<\delta\quad\wedge\quad |f(x_1)-f(x_2)|\geq\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Und das müsstet ihr aus der Nichtbeschränktheit folgern. Da dürft ihr nicht einfach sagen, dass das direkt daraus folgt.
Ein Widerspruchsbeweis ist schon der richtige Ansatz. Nehmt also an, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre gleichmäßig stetig und nicht beschränkt und folgert dann einen Widerspruch!

Gruß MSS

12.12.2006, 20:13

Buef

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Hmm das verstehe ich nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |x_1-x_2|<\delta\quad\wedge\quad |f(x_1)-f(x_2)|\geq\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Das sagt doch aus, dass egal wie klein mein Delta auch ist ich immer zwei ganz nah beieinander liegende x1 und x2 finde deren Bilder einen Abstand größer als Epsilon ist.
Das bedeutet doch das die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist !

Wieso sollen wir dann für den Widerspruch annehmen, dass f gleichmäßig wär und nicht beschränkt? verwirrt

12.12.2006, 21:05

Mathespezialschüler

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Ihr wolltet folgendes machen:

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig stetig.

Das wolltet ihr beweisen. Dazu hab ich euch einfach nochmal die Aussage " $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht gleichmäßig stetig" aufgeschrieben.

Das zweite war dann eine ganz neuer Ansatz für euch: Nehmt an, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre gleichmäßig stetig und unbeschränkt und folgert daraus einen Widerspruch.

Gruß MSS

12.12.2006, 21:29

Buef

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wenn f gleichmäßig stetig auf D ist, dann gilf für alle
$\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$
exestiert
$\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$
sodass für alle
$\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in D \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} \mid x_1-x_2 \mid < \delta \end{eqnarray*}$
gilt
$\begin{eqnarray*} \mid f(x_1) - f(x_2)\mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
Die letzte Zeile ist jedoch ein Widerspruch, da f unbeschränkt ist, oder?

12.12.2006, 23:20

Mathespezialschüler

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Warum ist das ein Widerspruch? Du überspringst immer etliche Schritte. Du sagst einfach, dass das ein Widerspruch ist, ohne es genauer zu begründen. So geht das einfach nicht! Da ich nicht weiß, wie ich hier mit kleinen Schritten vorgehen soll, gleich der ganze Beweis:
Also, angenommen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist unbeschränkt und gleichmäßig stetig. Dann existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n\in D \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to\infty \end{eqnarray*}$ geht. Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt (warum?), und besitzt somit eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ . Diese ist dann auch eine Cauchyfolge.
Sei nun $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x,x'\in D \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |x-x'|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x')|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Zu diesem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<\delta \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt aber auch

$\begin{eqnarray*} |f(a_m)-f(a_n)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig war, ist somit auch $\begin{eqnarray*} (f(a_n)) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge. Und den letzten kleinen Schritt solltest du nun doch noch selbst schaffen.

Gruß MSS

13.12.2006, 14:08

Buef

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Also, angenommen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist unbeschränkt und gleichmäßig stetig. Dann existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n\in D \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to\infty \end{eqnarray*}$ geht. Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, weil $\begin{eqnarray*} x_n \in D \end{eqnarray*}$ also in einem Definionsbereich , und besitzt somit eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ . Diese ist dann auch eine Cauchyfolge.

Sei nun $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x,x'\in D \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |x-x'|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x')|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Zu diesem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<\delta \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt aber auch

$\begin{eqnarray*} |f(a_m)-f(a_n)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig war, ist somit auch $\begin{eqnarray*} (f(a_n)) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge.

Da $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist, steht dies im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} f(x_n) \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
Daher folgt, dass f beschränkt sein muss!

Stimmt das so?

PS: Habe oben Kommentiert (1 mal)

13.12.2006, 17:06

Mathespezialschüler

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Und wieder überspringst du einen Schritt ...
Da $\begin{eqnarray*} (f(a_n)) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist, konvergiert sie auch. Dies steht aber im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to\infty \end{eqnarray*}$ , da daraus auch $\begin{eqnarray*} f(a_n)\to\infty \end{eqnarray*}$ folgen würde und $\begin{eqnarray*} (f(a_n)) \end{eqnarray*}$ somit eigentlich divergieren müsste.

Gruß MSS

13.12.2006, 19:13

Buef

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danke!

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