Mehrdimensionaler Mittelwertsatz

01.06.2011, 16:37

tigerbine

Mehrdimensionaler Mittelwertsatz

Hallo,

ich habe leider immer noch Probleme mit dem "Mittelwertsatz in Integralform". Siehe

http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwerts...rerer_Variablen
Mittelwertsatz Integralform

Da ich nun eine andere Quelle verwende mache ich einen neuen Thread. Ziel ist es dieses Lemma zu verstehen, wo der Mittelwertsatz verwendet wird. Vielleicht wird mein Wissen in mehrdimanionales Analysis nicht ausreichen, um dem MWS zu verstehen, dann helft mir vielleicht die Eckpunkte zu verstehen.

Danke.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} K \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ kompakt und konvex. Sei $\begin{eqnarray*} f \in C^1(K)^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M:=\max_{x \in K}~|\nabla f(x)| \end{eqnarray*}$ . Dann ist f Lipschitzstetig mit Konstante M.

Beweis

$\begin{eqnarray*} f(x)-f(y)&&\stackrel{1}=\int_{0}^{1}\frac{d}{dt}f(tx+(1-t)y)~dt &&\stackrel{2}= \int_0^1\nabla f(tx+(1-t)y)(x-y)~dt &&\leq \max_{t \in [0,1]} |\nabla f(tx+(1-t)y||x-y| && \leq M |x-y| \end{eqnarray*}$

Beginnen wir mit meinen Fragen:

1. Was bedeutet $\begin{eqnarray*} f \in C^1(K)^n \end{eqnarray*}$ , also das hoch n?
2. Vor: K kompakt und f C1, damit wir die Existenz von M sicherstellen [Stetige Funktion auf Kompaktum nimmt min/max an]
3. Vor: K konvex? Durch das Integral von 0 bis 1 wird imho über Konvexkombination von x und y integriert. In der Variante hier finde ich die Voraussetzung allerdings nicht.
4. Was beschreibt das erste "="? Als Mittelwertsatz hätte ich gleich das zweite "=" genommen.

Danke. Weitere Fragen werden folgen.

edit:
* Fehlt bei = Nr.2 nicht ein "transponiert" bei dem Gradienten (Spaltenvektor) verwirrt

* Muss bi = Nr.1 nuc ein (x-y) irgendwo rein? siehe Wikipedia nach dem A... verwirrt

Siehe auch hier http://www.matheboard.de/archive/417453/thread.html
* Und müßte man nicht eigentlich "Normen" statt "Betrag" haben?

* hier http://www.mathepedia.de/Mittelwertsaetze.aspx habe ich unter Satz 16KL den Satz auch noch mal gefunden. Da wird konvex nicht vorausgesetzt... verwirrt

Oder steht das ganz am Anfang für D drin...?

02.06.2011, 10:19

Leopold

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Fragen zurück:

A) Wieso gibt es bei dir $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ?
B) Fehlen da nicht an drei Stellen Betragsstriche? (Und ein Schreibfehler: In der vorletzten Zeile fehlt ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .)

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \gamma: \ t \mapsto tx + (1-t)y, \, 0 \leq t \leq 1, \end{eqnarray*}$ ist eine Parameterdarstellung der Strecke von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Die Konvexität garantiert, daß die Punkte dieser Strecke im Definitionsgebiet von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegen (im Satz 16 KJ wird das am Anfang ausdrücklich für eine feste Strecke vorausgesetzt), so daß die Verkettung $\begin{eqnarray*} h = f \circ \gamma \end{eqnarray*}$ möglich ist.

Mach es dir noch einmal klar: $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bildet ein reelles $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf ein Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ab, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dieses hinwieder auf eine reelle Zahl. Damit ist

$\begin{eqnarray*} h: \ [0,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

eine gewöhnliche stetig differenzierbare reelle Funktion. Diese wird nun nach der Kettenregel differenziert:

$\begin{eqnarray*} h' = \left( f' \circ \gamma \right) \cdot \gamma' \end{eqnarray*}$

Formal sieht das wie im Eindimensionalen aus ("Ableitung der äußeren Funktion, die innere mitgenommen, und nachdifferenzieren, also mal Ableitung der inneren Funktion"). Allerdings bedeutet der Malpunkt die Matrizenmultiplikation. $\begin{eqnarray*} f'= \nabla f \end{eqnarray*}$ ist hier der Gradient und damit ein Zeilenvektor, dagegen ist $\begin{eqnarray*} \gamma' \end{eqnarray*}$ ein Spaltenvektor. Und da die Matrizenmultiplikation "Zeile mal Spalte" dem Standardskalarprodukt zweier Vektoren entspricht, steckt hinter der Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \left| \left( \nabla f \circ \gamma \right) \cdot \gamma' \right| \leq \left| \nabla f \circ \gamma \right| \cdot \left| \gamma' \right| \end{eqnarray*}$

nichts anderes als die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für die euklidische Norm. Und dafür stehen hier die senkrechten Striche.

Und das Ganze geht nun so los:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \int_0^1 h'(t)~\dd t = h(1) - h(0) \end{eqnarray*}$ (eindimensionaler Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

Ausrechnen der rechten Seite ergibt

$\begin{eqnarray*} h(1) - h(0) = f \left( \gamma(1) \right) - f \left( \gamma(0) \right) = f(x) - f(y) \end{eqnarray*}$

Ausrechnen der linken Seite ergibt

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \nabla f \left( \gamma(t) \right) \cdot \gamma'(t)~\dd t = \int_0^1 \nabla f \left( tx + (1-t)y \right) \cdot (x-y)~\dd t \end{eqnarray*}$

Und indem man über beide Seiten in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ die Betragsstriche (euklidische Norm) zieht, erhält man

$\begin{eqnarray*} \left| f(x) - f(y) \right| = \left| \int_0^1 \nabla f \left( tx + (1-t)y \right) \cdot (x-y)~\dd t \right| \end{eqnarray*}$

Jetzt auf der rechten Seite: Dreiecksungleichung für gewöhnliche Integrale, dann Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für das Skalarprodukt usw.

02.06.2011, 13:55

tigerbine

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Hallo

Zitat:

Fragen zurück:

A) Wieso gibt es bei dir $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ?

Tippfehler, korrigiert.

Zitat:

B) Fehlen da nicht an drei Stellen Betragsstriche? (Und ein Schreibfehler: In der vorletzten Zeile fehlt ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .)

Wo? Meinst du, weil da keine Normen stehen? Müßte man nicht eigentlich z.B. $\begin{eqnarray*} \|.\|_2 \end{eqnarray*}$ schreiben?

Zitat:

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \gamma: \ t \mapsto tx + (1-t)y, \, 0 \leq t \leq 1, \end{eqnarray*}$ ist eine Parameterdarstellung der Strecke von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Die Konvexität garantiert, daß die Punkte dieser Strecke im Definitionsgebiet von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegen (im Satz 16 KJ wird das am Anfang ausdrücklich für eine feste Strecke vorausgesetzt), so daß die Verkettung $\begin{eqnarray*} h = f \circ \gamma \end{eqnarray*}$ möglich ist.

Gut, wenn man möchte, dass die Strecke immer in K liegt ist konvex klar. Es stand nicht in allen Quellen aus Voraussetzung.

Zitat:

Mach es dir noch einmal klar: $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bildet ein reelles $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf ein Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ab, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dieses hinwieder auf eine reelle Zahl.

Das verstehe ich nicht. Denn es ist doch $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^n \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Allgemein:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'= \nabla f \end{eqnarray*}$ ist hier der Gradient und damit ein Zeilenvektor, dagegen ist $\begin{eqnarray*} \gamma' \end{eqnarray*}$ ein Spaltenvektor.

Woher weiß man dass f' nun Gradient ist und $\begin{eqnarray*} \gamma' \end{eqnarray*}$ nicht? Oder ist das bei Verkettung einfach Konvention, was man sich darunter vorzustellen hat? Also Vektoren in der Form, so dass es passt für Vektorrechnung? Gradienten waren bei uns nun immer Spaltenvektoren...

02.06.2011, 15:16

Leopold

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Das verstehe ich nun wieder nicht. Wieso bildet $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ab? Gradienten gibt es nur für reellwertige Funktionen. Also müßte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ abbilden.

Wo die Betragsstriche hingehören, steht in meinem vorigen Beitrag. Und daß es sich bei den Betragsstrichen um die euklidische Norm handeln muß, habe ich auch erläutert. Die Doppelstriche besagen zunächst nichts anderes, als daß es sich überhaupt um eine Norm handelt. Welche Norm gemeint ist, ist meines Wissens nicht allgemein festgelegt, sondern kontext- und vorlesungsabhängig. Möglicherweise habt ihr für die euklidische Norm $\begin{eqnarray*} \| . \|_2 \end{eqnarray*}$ geschrieben, und hier werden eben die Betragsstriche dafür genommen.

Die Strecke von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ muß in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ liegen, sonst könnte man ja $\begin{eqnarray*} f \circ \gamma \end{eqnarray*}$ gar nicht bilden. Die Konvexität sorgt dafür, daß alle Strecken in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ liegen. Nur dann kann man die Abschätzung für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ durchführen.

Ob du Gradienten als Zeilen oder Spalten schreibst, ist völlig egal, solange du mit ihnen keinen Matrizenkalkül betreibst. Dann aber wird es wichtig.

Hat eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Werte im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ , so schreibt man ihre Komponenten in Spalten (auch das wird erst dann wichtig, wenn man Matrizenkalkül anwendet; ansonsten kann man auch Zeilen nehmen):

$\begin{eqnarray*} g = \begin{pmatrix} g_1 \\ g_2 \\ \vdots \\ g_m \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Jacobi-Matrix $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ erhält man, indem man jede Komponentenfunktion nach den Komponenten von $\begin{eqnarray*} x = \left( x_1 , x_2 , \ldots , x_n \right) \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ partiell differenziert. Diese partiellen Ableitungen schreibt man in einer Zeile nebeneinander auf. Man erhält so eine Matrix mit $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Zeilen und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Spalten:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial g_m}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial g_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \nabla g_1 \\ \vdots \\ \nabla g_m \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Zeilen der Matrix sind also gerade die Gradienten der Komponentenfunktionen. Im Falle $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ schrumpft die Matrix zu einem Zeilenvektor zusammen, eben dem Gradienten der Funktion, im Falle $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ wird die Matrix eine Spalte, das ist bei Parameterdarstellungen von Kurven der Fall. Und deshalb ist $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ eine Zeile und $\begin{eqnarray*} \gamma' \end{eqnarray*}$ eine Spalte.

Und nur wenn man diese Konventionen einhält, funktioniert die mehrdimensionale Kettenregel im Matrizenkalkül. Aber wie schon gesagt: Solange du diesen nicht brauchst, kannst du zwischen Zeilen- und Spaltendarstellung wechseln, ganz wie es dir vom Layout besser ins Konzept paßt.

02.06.2011, 15:22

tigerbine

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Zitat:

Es geht ja um den "mehrdimensionalen Mittelwertsatz". Manche nennen ihn auch "Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen." und Satz 16KL (siehe erster post)

Das mit dem Gradienten steht so in den Vorlesungsunterlagen.

Gruß.

02.06.2011, 22:37

tigerbine

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Ich habe mal aus dem Heuser 2 die Version rauskopiert. Vielleicht kommen wir damit darauf, ob und wie die obigen Zeilen aus dem Skript stimmen. Ist leider online copy, sorry für die Qualität.

$\begin{eqnarray*} f(x)-f(y)&&\stackrel{1}=\int_{0}^{1}\frac{d}{dt}f(tx+(1-t)y)~dt &&\stackrel{2}= \int_0^1\nabla f(tx+(1-t)y)(x-y)~dt &&\leq \max_{t \in [0,1]} |\nabla f(tx+(1-t)y||x-y| && \leq M |x-y| \end{eqnarray*}$

Dann nehme ich hier mal an, dass mit d/dt nur gemeint ist, dass man nach t ableiten soll. Die Ausführung wurde aber noch nicht gemacht, wodurch dann auch der Faktor (x-y) der beim Nachdifferenzieren entsteht, noch nicht auftaucht.

Statt des Gradienten hätte ich im nächsten Schritt aber f' stehen (siehe Heuser). Für die Matrix die in der Fußnote angesprochen wird, würde ich meinen, dass man sich in jeder Zeile die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ vorstellt und eigentlich jeder Eintrag der Matrix dann integiert wird, siehe hier.

Unter $\begin{eqnarray*} \|f'(x_0+ht)\| \end{eqnarray*}$ stelle ich mir dann auch die Norm einer Matrix vor. Ebenfalls ein Grund die Gradientenschreibweise nicht zu übernehmen.

04.06.2011, 17:29

tigerbine

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Hi Leopold,

wir haben hier noch mal weiter gemacht. Weil ich den MWS dafür brauchte. Dir auch noch mal danke, besonders die Zeile zur Kettenregel. Glaube da ist der Knoten nun endlich geplatzt.

Schönes Wochenende. Wink

06.06.2011, 16:47

Leopold

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Und immer noch verstehe ich nicht, was du da genau machst. Wenn, wie du behauptest, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ abbildet, wie kann dann ein Größenvergleich durchgeführt werden?
Ich bin weiterhin der Ansicht, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ reellwertig sein muß - und daß Betragsstriche fehlen!

06.06.2011, 16:54

tigerbine

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Also, mit diesem MWS soll der 1D Mittelwertsatz auf Funktionen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ üebrtragen werden. Hier hatte ich ihn nun für m=n angesetzt und in der Notation eines Skriptes übernommen. Das war:

$\begin{eqnarray*} f(x)-f(y)&&\stackrel{1}=\int_{0}^{1}\frac{d}{dt}f(tx+(1-t)y)~dt &&\stackrel{2}= \int_0^1\nabla f(tx+(1-t)y)(x-y)~dt &&\leq \max_{t \in [0,1]} |\nabla f(tx+(1-t)y||x-y| && \leq M |x-y| \end{eqnarray*}$

Dabei fehlen (Im Skript) wohl die || (soll bei Prof wohl Norm sein), es müßte eigentlich heißen

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| &&\stackrel{1}=|\int_{0}^{1}\frac{d}{dt}f(tx+(1-t)y)~dt| &&\stackrel{2}=| \int_0^1\nabla f(tx+(1-t)y)(x-y)~dt| &&\leq \max_{t \in [0,1]} |\nabla f(tx+(1-t)y||x-y| && \leq M |x-y| \end{eqnarray*}$

Ich war so auf das Integral fixiert, dass ich nicht umsetzen konnte, auf was du dich beziehst. Hätten wir den Punkt geklärt?

06.06.2011, 17:06

Leopold

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Und was für eine Art von Integration soll das sein, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ abbildet? Gliedweise über die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gezogen?

06.06.2011, 17:08

tigerbine

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Bzgl. der Komponentenfunktionen. Hast du zufällig den Heuser 2?

Mehrdimensionaler Mittelwertsatz [Leider über Kopf]

oder bei google books

http://books.google.de/books?id=zN7aCuj5...ertsatz&f=false

Seite 278ff

06.06.2011, 17:12

Leopold

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Nein, so etwas Modernes wie den Heuser habe ich nicht. Augenzwinkern

Für mehrdimensionales $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (koordinatenweise Integration vorausgesetzt) muß ich mir die Rechnung erst einmal durchdenken.

06.06.2011, 17:14

tigerbine

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Kannst ja den book-Link nehmen. Dort wird die Symbolik erklärt, was was das Integral eigentlich sein soll. Diesen MWS findet man wohl oft z.B. bei mehrdimensionalen Newtonverfahen in Beweisen. Sei es in der Numerik oder in der Optimierung.

Gruß.

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