Existiert eine Lösung der Gleichung?

01.06.2011, 16:41

Schwierig

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Existiert eine Lösung der Gleichung?

Meine Frage:
Gibt es ungerade positive ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a_{1} , a_{2} , a_{3} , ... a_{n} \end{eqnarray*}$ , für die die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{2} } + \frac{1}{a_{3} } + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} } = 1 \end{eqnarray*}$ gilt?

Meine Ideen:
Ich habe bei dieser Aufgabe schon viele Möglichkeiten ausprobiert, bin aber nicht weitergekommen. Ich glaube aber, dass es keine Lösung der Gleichung gibt.

Ein Ansatz von mir wäre z.B., dass ich Folgendes definiere:
$\begin{eqnarray*} a_{1} = 2b_{1} + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2} = 2b_{2} + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3} = 2b_{3} + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n} = 2b_{n} + 1 \end{eqnarray*}$

Aber trotzdem komme ich nicht weiter...

01.06.2011, 16:44

Pascal95

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Ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beliebig?

Dann könntest du ja schreiben: $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac11=1 \end{eqnarray*}$

01.06.2011, 16:47

Schwierig

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Ich habe vergessen zu erwähnen, dass n eine beliebige positive ganze Zahl größer 1 ist und dass $\begin{eqnarray*} a_{1} , a_{2} , a_{3} , ... ,a_{n} \end{eqnarray*}$ größer als 1 sind.
Tut mir Leid.

01.06.2011, 16:50

Pascal95

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Ok, dann muss ich nochmal überlegen...

01.06.2011, 16:50

DP1996

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Dann gäbe es immer noch die Möglichkeit, dass a1=a2=a3=3 ist. Dann wäre die Summe 3*(1/3)=1.

01.06.2011, 16:51

Pascal95

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Setze: $\begin{eqnarray*} a_i=n\ , \ \ i=1,..,n \end{eqnarray*}$ .

Edit: Ja, das meinte ich auch (nur allgemeiner) @DP1996

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01.06.2011, 16:56

Schwierig

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Oh, hab wieder was vergessen Forum Kloppe

Forum Kloppe

Hammer

LOL Hammer

.
$\begin{eqnarray*} a_{1} , a_{2} , a_{3} , ... a_{n} \end{eqnarray*}$ sind voneinander verschieden.

01.06.2011, 17:01

Pascal95

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Dann wäre die einzige Möglichkeit ja:

$\begin{eqnarray*} a_1=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ } \cdot \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ } \cdot \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ } \cdot \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_i=2i+1 \end{eqnarray*}$

und kommt man dann auf 1?

Ich meine, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac1{2i+1} \end{eqnarray*}$
nicht konvergiert - divergiert.

Dann wäre es ja möglich!

01.06.2011, 17:02

DP1996

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Weshalb kannst du einfach so ausschließen, dass nicht einfach mal eine ungerade Zahl übersprungen wird?

01.06.2011, 17:04

Pascal95

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Meine Idee war, dass vielleicht der Grenzwert einer Reihe 1 betragen soll, die zu finden ist.

01.06.2011, 17:05

Schwierig

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Nein, denn schon für n=4 wäre die Summe größer als 1...

01.06.2011, 17:10

Pascal95

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^4 \frac1{2i+1}=\frac{248}{315} \end{eqnarray*}$ , oder?

01.06.2011, 17:10

DP1996

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Keine schlechte Idee. Davon unabhängig:
Man kann sagen, dass OBdA die a der Größe nach geordnet sind, da man die einzelnen Brüche ja sowieso vertauschen kann. Da 1/a für immer größer werdendes a immer kleiner wird, ist die größte Summe die, bei der a die ersten ungeraden Zahlen ab 3 annimmt. Damit erhält man zumindest schon mal ein Minimum, wieviele Summanden es sein müssen.

Da waar ich ziemlich langsam, aber n= 4 ist zuwenig

01.06.2011, 17:14

DP1996

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Laut Mathematica funktioniert das erst ab n=7: 46027/45045

01.06.2011, 17:17

Schwierig

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Stimmt, da hab ich mich wohl verrechnet.

01.06.2011, 17:18

HAL 9000

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Dass es eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (n_k) \end{eqnarray*}$ der ungeraden natürlichen Zahlen >3 gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n_k} = 1 \end{eqnarray*}$

gilt, ist nicht übermäßig schwer im Nachweis, und der Analysis zugehörig.

Die Frage, ob das aber auch mit einer endlichen Summe möglich ist - und darum geht es ja eigentlich hier im Thread (oder irre ich mich da?) - geht dann doch mehr in das Gebiet der Zahlentheorie. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.06.2011, 17:22

DP1996

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Nein, HAL, du irrst dich nicht, es geht um endliche Summen.

01.06.2011, 17:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Schwierig
Ich glaube aber, dass es keine Lösung der Gleichung gibt.

Irrtum: Mit etwas Bastelei findet man eine Lösung, auch als endliche Summe, z.B.

1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/15 + 1/21 + 1/33 + 1/35 + 1/77 + 1/105 + 1/231 + 1/309 + 1/315 + 1/515 + 1/721 + 1/927 + 1/1545 + 1/2163 + 1/3399 + 1/3605 + 1/7931 + 1/23793 + 1/32445 = 1

01.06.2011, 18:15

DP1996

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Respekt

HAL, wenn du die Lösung selbstständig gefunden hast.

01.06.2011, 18:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von DP1996
wenn du die Lösung selbstständig gefunden hast.

Vielleicht hätte ich das auch so zweifelnd formuliert. Aber ja, hab sie selbst gefunden, hat mich allerdings eine halbe Stunde der erwähnten Bastelarbeit gekostet.

Sehr wahrscheinlich gibt es auch eine kürzere Lösung, aber auf dem Pfad, den ich nun mal beschritten hatte, war das der erste Treffer.

01.06.2011, 18:19

Schwierig

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Schwierig
Ich glaube aber, dass es keine Lösung der Gleichung gibt.

Irrtum: Mit etwas Bastelei findet man eine Lösung, auch als endliche Summe, z.B.

1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/15 + 1/21 + 1/33 + 1/35 + 1/77 + 1/105 + 1/231 + 1/309 + 1/315 + 1/515 + 1/721 + 1/927 + 1/1545 + 1/2163 + 1/3399 + 1/3605 + 1/7931 + 1/23793 + 1/32445 = 1

Hast du die Lösung rechnerisch gefunden oder mit dem Computer (Algorithmus)?
Ich habe nachgerechnet; der Onlinetaschenrechner zeigt 1,0000000000000002 (Rundungsfehler?) an... verwirrt

verwirrt

01.06.2011, 18:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Schwierig
Ich habe nachgerechnet; der Onlinetaschenrechner zeigt 1,0000000000000002

Üb mal wieder Bruchrechnung, oder besorg dir ein ordentlich und sauber rechnendes CAS. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.06.2011, 18:25

Schwierig

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Okay, mit Bruchrechnung müsste es stimmen ^^

01.06.2011, 18:31

HAL 9000

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Ich verrate mal nur den letzten Schritt: Es ist

a = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/15 + 1/21 + 1/33 + 1/35 + 1/77 + 1/231 + 1/315 = 103/105

Somit ist

a + 1/105 + a/103 = 1,

wobei a/103 auch nur eine Summe von Reziproken ungerader Zahlen ist, welche überdies vorher noch nicht vorgekommen waren. Mit ähnlichen Techniken ist vorher auch a entstanden.

P.S.: Etwas kürzer ist z.B.

1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/15 + 1/21 + 1/35 + 1/45 + 1/63 + 1/105 + 1/129 + 1/215 + 1/301 + 1/387 + 1/645 + 1/903 + 1/1505 + 1/2709 + 1/4515 = 1

oder noch besser

1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/15 + 1/21 + 1/35 + 1/45 + 1/57 + 1/95 + 1/133 + 1/171 + 1/285 + 1/665 + 1/855 = 1

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