Differentialgleichung lösen

01.06.2011, 17:56

Toby1988

Differentialgleichung lösen

Meine Frage:
Hallo,
die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \frac{D}{Dr} (k*r*\frac{DT}{Dr}) +q_{v}=0 \end{eqnarray*}$ der allg. Wärmeleitung im Zylinder soll in die DGL der Form
$\begin{eqnarray*} T''*a_{1}(r) +T'*a_{2}(r) +T*a_{3}(r) =a_{4}(r) \end{eqnarray*}$ umgewandelt werden. T(r) ist gesuchte Größe.
Ich habe leider keinen Kenntnis über DGLs. Kennt sich jemand damit aus?
Viele Grüße und vielen Dank
Toby

Meine Ideen:
Meine Idee wäre eine Integration der Gleichung. Jedoch stört mich der Ausdruck vor der Klammer und die Größen müssen weiterhin von r abhängig bleiben. Wie kann $\begin{eqnarray*} \frac{DT}{Dr} * \frac{DT}{Dr} \end{eqnarray*}$ integriert werden, dass der u.g. Ausdruck von r abhängig herauskommt?

01.06.2011, 21:00

Toby1988

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RE: Differentialgleichung lösen
Ein Nachtrag: Die DGL soll laut Aufgabe nicht gelöst werden, sondern es soll nur eine DGL aus der o.g. Zylinder Wärmeleitungsgleichung in eine allg. DGL Form der Bauart $\begin{eqnarray*} T''*a_{1}(r)+ T'*a_{2}(r)+ T*a_{3}(r)= a_{4}(r) \end{eqnarray*}$ gebracht werden.
Jedoch weiß ich nicht, wie ich mit der Integration beginnen kann.
Vielen Dank für die Unterstützung schon im Voraus.
Grüße
Toby

01.06.2011, 21:32

Mathewolf

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Nun, zur Lösung muss hier die Produktregel angewendet werden. Ich nehme mal an, k ist hier die Boltzmann-Konstante. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(k*r*\frac{\partial T}{\partial r}\right) +q_{v}=0\ \Leftrightarrow\ k\,\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac kr\,\frac{\partial T}{\partial r} + q_v=0 \end{eqnarray*}$

01.06.2011, 21:46

Toby1988

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Hallo,
vielen Dank für die Nachricht. K ist der Wärmeleitkoeffizient. Der müsste aber auch konstant sein, da wir laut Aufgabe überall die selbe Temperatur haben sollen.
Kannst Du auch mir ein oder zwei Zwischenschritte mit der Integration zum Ergebnis angeben, damit ich es nachvollziehen kann?
Wäre Dein Ergebnis so das Ergebnis in der allg. Form der DGL? Oder muss ich noch weiter vereinfachen?
Vielen Dank für die nette Unterstützung!!!
Toby

01.06.2011, 22:15

Toby1988

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Hallo nocheinmal,
ich würde jetzt versuchen die partielle Integration anzuwenden:
$\begin{eqnarray*} \int\! u'*v=\int (u*v)'-\int u*v' \end{eqnarray*}$
Jedoch weiß ich nicht, wie ich wegen der höheren Ordnung und dem zusätlichen qv weitermachen kann.
Ich habe so eine längere Aufgabe noch nicht gerechnet.

Viele Grüße
Toby

02.06.2011, 00:01

Mathewolf

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Es wäre vielleicht sinnvoll, wenn du die Aufgabe hier mal reinsetzt. Ich kann aus den Informationsschnipseln heraus nicht erkennen, wo überhaupt integriert werden soll.

02.06.2011, 00:21

Toby1988

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DGL umformen
Hallo,
vielen Dank für die Nachricht. Kein Problem.
Der Text lautet:

__________________________________________________________________
Forme die allg. Wärmeleitungsgleichung für Zylinder (1 dimensional, stationär)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r}\frac{D}{Dr} (k*r*\frac{DT}{Dr})+q_{v} =0 \end{eqnarray*}$ so um, dass eine DGL mit der allg. Form $\begin{eqnarray*} T''a_{1}(r)+ T'a_{2}(r)+ Ta_{3}(r)=a_{4}(r) \end{eqnarray*}$ entsteht. Temperatur im Zylinder ist konstant.
Anmerkung: Die Größe T(r) wäre bei Lösung der DGL gesucht, aber die DGL soll hier nur aufgestellt und nicht weiter gelöst werden.

Gemeint ist also, dass die DGL so einen ähnlichen Aufbau haben sollte, wie das vorgegebene Muster.

__________________________________________________________________
Also glaube ich, dass der Ansatz schon richtig war.

Viele Grüße
Toby

02.06.2011, 00:47

Toby1988

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Eine Ergänzung: Gemeint ist, dass der Temperaturverlauf im Zylinder durch die zu erstellende DGL ausgedrückt werden soll. Leider kann ich meinen Text nicht mehr überarbeiten. Nicht die Temperatur ist konstant, sondern der Wärmeleitkoeffizent k ist konstant.
Der Wärmestrom $\begin{eqnarray*} q_{v} \end{eqnarray*}$ entsteht im Zylinder und ist gleichmäßig über das Volumen verteilt.
Viele Grüße
Toby

02.06.2011, 21:47

Mathewolf

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Zu integrieren ist da gar nichts, denn es ist ja keine Lösung der Differentialgleichung gefordert.
Im Grunde steht da ja schon die Diffwerentialgleichung. Sie doll nur etwas umgeformt werden.
Die vorgegebene Differentialgleichung lautet ja

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(k*r*\frac{\partial T}{\partial r}\right) +q_{v}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial r} \end{eqnarray*}$ ist ein sog. Differentialoperator. Er sagt nichts weiteres als "Der nachfolgende Term soll nach r abgeleitet werden." Dies machen wir jetzt einfach. Der abzuleitende Term ist ein Produkt aus r einer Konstanten und einem Differentialquotenten nach r. Anzuwenden ist also die Produktregel.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(k*r*\frac{\partial T}{\partial r}\right) +q_{v}=0\ \Leftrightarrow\ \frac 1r\,k\,\frac{\partial T}{\partial r}+ \frac1r\,k\,r\,\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + q_v=0 \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst und etwas umsortiert ergibt

$\begin{eqnarray*} k\,\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac kr\,\frac{\partial T}{\partial r} = -q_v. \end{eqnarray*}$

Dies ist die gesuchte Darstellung.

02.06.2011, 21:55

Toby1988

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Zitat:

Original von Mathewolf

Zusammengefasst und etwas umsortiert ergibt

$\begin{eqnarray*} k\,\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac kr\,\frac{\partial T}{\partial r} = -q_v. \end{eqnarray*}$

Dies ist die gesuchte Darstellung.

Hallo,
vielen Dank für die Lösung. Das ist super!!
Also ist $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 T}{\partial r^2} \end{eqnarray*}$

demnach $\begin{eqnarray*} T'' \end{eqnarray*}$ ??

Diese Schreibweise habe ich bisher noch nicht so gesehen.

Viele Grüße
Toby

02.06.2011, 21:58

Mathewolf

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Genau!

02.06.2011, 22:00

Toby1988

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Vielen Dank. Nun kann ich anhand dieses Beispiels auch andere Aufgaben üben.

Hammer

VG
Toby

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Differentialgleichung lösen

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