Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck

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MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Meine Frage:
Hallo, Ihr Lieben...

Ich habe folgende Frage:

Ich suche den Umkreisradius und den Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a.

Meine Ideen:
Ich habe mir einige Formeln für ein gleichseitiges Dreieck rausgesucht, aber irgendwie, verstehe ich nicht, wie ich daraus den Umkreisradius und den Inkreisradius berechnen kann.

Zudem sind keine Werte angegeben... Kann mir vielleicht jemand ein bisschen Klarsicht verschafffen???
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Was ist denn das Besondere an einem gleichseitigen Dreieck?

smile
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Inkreisradius: 1/3 der Länge der Höhe/Seitenhalbierenden, der Umkreisradius ist doppelt so groß. Warum? (Skizze, Lage des Mittelpunktes!)

mY+
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Hallo... Danke, dass Sie mir zurück schreiben...

Also ich würde mal sagen, dass alle drei Seiten gleich lang sind!
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Es tut mir leid, aber Ich sehe leider nicht, was Sie mir sagen wollen...

Wie soll ich den die Höhe, den Umkreisradius usw. berechnen, wenn ich keinen einzigen Wert angegebn habe?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Ja, das stimmt, das verrät uns ja schon der Name. Augenzwinkern

Ich hatte eigentlich etwas weiter gedacht: Wenn du nun Umkreis und Inkreis hörst, dann kommen doch Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ins Spiel. Wie sehen denn die Winkelhalbierenden bei einem gleichseitigen Dreieck aus? Wo verlaufen sie?


PS: Hier im Board duzen sich alle. smile
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Also die Winkelhalbierenden teilen natürlich erstmal den Winkel und dann die gegenüberliegende Seite.

Aber ich glaube, dass bei einem gleichseitigen Dreieck Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte zusammen fallen...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Zitat:
Original von MilchMaus
Aber ich glaube, dass bei einem gleichseitigen Dreieck Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte zusammen fallen...


Ganz genau. Freude Und nicht nur die! Wie sieht es mit den Höhen und den Seitenhalbierenden aus?

Beachte, dass diese Aussage nur bei den gleichseitigen Dreiecken gilt (aber sie hilft beim Beantworten meiner Frage Augenzwinkern ) :
Zitat:
Original von MilchMaus
Also die Winkelhalbierenden teilen natürlich erstmal den Winkel und dann die gegenüberliegende Seite.




smile
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Na, also mit den Seitenhalbierenden und den Höhen verhält es sich auch so...

Aber was hat das mit dem Umkreis zu tun???
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Wird der Punkt, bei dem sich alle Mittelsenkrechten schneiden, nicht auch Umkreis des Dreiecks genannt?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Du denkst in die richtige Richtung.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Umkreises. Freude

Wie sieht es mit dem Inkreis aus?
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Ich würde mal sagen aufgrund der Besonderheit eines gleichseitigen Dreiecks müsste dieser doch auch mit dem Umkreisradius zusammenfallen...

Aber ich bin mir nicht sicher...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Nein, soweit geht es denn doch nicht, dass auch Umkreis und Inkreis identisch sind... Augenzwinkern

Da aber Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte identisch sind, befinden sich die Radien von Umkreis und Inkreis auf dem gleichen Punkt. Das M ist also identisch.

Kommen wir zur Frage, wo M liegt. Und hier kommt die Seitenhalbierende ins Spiel, deswegen habe ich vorhin danach gefragt. Augenzwinkern

Weißt du, welche Eigenschaft die Seitenhalbierende noch hat außer, dass sie die Seiten halbiert?

smile
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Ich glaube, sie geht von einer Ecke aus und teilt die gegenüberliegende Seite in einem bestimmten Verhältnis...
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Uiuiui... Das ist aber wirklich nicht so einfach... Hammer
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Naja, das ist das, was ich schon sagte, sie halbieren die Seiten.

Die Seitenhalbierenden haben aber noch eine andere Eigenschaft: Ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Und weiterhin wird durch diesen Schnittpunkt jede Seitenhalbierende in einem bestimmten Verhältnis geteilt.

Hast du davon schon mal gehört?

smile
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Ja,ich glaube im Verhältnis 4:2...
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Kann es sein, dass der Schnittpunkt,aller Winkelhalbierenden als Innkreismittelpunkt bestimmt ist... aber das würde dann nur für ein beliebiges Dreieck gelten und nicht für ein Gleichseitiges...weil bei uns diese ja zusammen fallen!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Kann man so sagen, man könnte auch 2:1 sagen... Augenzwinkern

Gut. Wir wissen also: Unsere Mittelpunkte der beiden Kreise liegen auf dem Schnittpunkt aller Transversalen, also auch auf dem Schwerpunkt.

Das bedeutet, wir können jetzt direkt anfangen, die Länge der Radien in Abhängigkeit von a zu bestimmen.

Dazu musst du zunächst mal die Länge der Transversalen bestimmen. Tu dazu einfach so, als wolltest du die Höhe in dem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a ausrechnen.

smile
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Ich würde dann die Flächeninhaltsformel von einem Dreieck nehmen und diese nach h auflösen...

Also h = A geteilt durch 1/2 mal grundseite a...

Sonst weiß ich leider nicht, was sie meinen...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Dann hast du die Höhe in Abhängigkeit von der Seitenlänge und der Fläche. Das ist nicht gut.

Ich dachte an den Pythagoras. smile
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Achso... Entschuldigung!

hmmm...wäre dann h meine Hypothenuse? Dann vielleicht a zum quadrat + b zum quadrat = h zum quadrat?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Es wäre gut, wenn du dir eine Skizze machen und sie benennen würdest.

Und: Die Höhe kann niemals die Hypotenuse sein, da sie senkrecht auf einer Grundseite steht. Sie muss also eine der Katheten sein.
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Das ist mir nicht bewusst gewesen...
Eine Skizze habe ich schon... Dann müsste die Seite a die Hypothenuse sein, weil bei h ja ein rechter Winkel ist und a somit gegenüber des rechten Winkels liegt!


Also: h zum quadrat mal c zum quadrat = a zum Quadrat

(Muss ich die Seite c irgenwie teilen, weil die Hohe sie ja in zweil gleiche Strecken teil, nämlich AC und BC???)
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Du solltest dich von den Standardbezeichungen lösen. Wir haben kein c vorliegen, alle Seiten sind a.

Und ja, du musst die eine Seite a teilen, wie du es vermutest. Freude

(Beachte, dass du die Quadrate der Katheten addierst, nicht multiplizerst).
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Das fällt mir wirklich schwer...

Aber dann vielleicht die Seite a zum Quadrat geteilt durch 2 ist dann h...

Ich sehe das "Große Ganze" irgendwie nicht...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Dann will ich dir das "große Ganze" mal zeigen:
[attach]19911[/attach]
Hier kannst du das gleichseitige Dreieck sehen. Wir wollen h bestimmen, weil wir dann die Radien bestimmen können. h wird durch M im Verhältnis 1:2 geteilt, entsprechend müssen wir dann noch h teilen.

Aber zuerst muss es bestimmt werden.
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Und wie machen wir das...???
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Hab ich schon gesagt: Pythagoras. Ich nehme an, das ist gerade dein Thema in der Schule. Also wende ihn an.

smile
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
dann wäre ja vielleicht h = Radius U + Radius I oder so
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Du musst erst h bestimmen!

Alle erforderlichen Angaben kannst du der Zeichnung entnehmen.
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
das habe ich ja schon versucht...aber ich weiß nicht weiter

Also nochma: h zum Quadrat = 1/2 a + a zum Quadrat
???
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Nein, denn h ist noch immer nicht die Hypotenuse....
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Ach ja klar... dann also a zum Quadrat = h zum Quadrat + 1/2 a zum Quadrat
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Stimmt. Freude

a² = h² + (1/2 a)²

Jetzt muss du nach h² umstellen und die beiden a zusammenfassen.

smile
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
h zum Quadrat = a zum Quadrat - 1/2 zum Quadrat

und wird aus a zum Quadrat - 1/2 Quadrat dann nicht 1/2 zum Quadrat?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Nein, denn du musst die 1/2 ja auch quadrieren. Augenzwinkern
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Kann ich die beiden a dann vielleicht als a zum Quadrat geteilt durch zwei zusammenfassen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Ich denke, wir sollten mal den Formeleditor benutzen, dann wird alles klarer:






Siehst du es jetzt?

smile
MilchMaus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkreisradius u. Inkreisradius in einem gleichseitigen Dreieck
Ein bisschen besser vielleicht... Haben wir h damit bestimmt?
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