Gleichung einer Spiegelgeraden h*

01.06.2011, 21:46

manni_12345

Eine Gerade h, die durch A und D verläuft, wird an der Ebene E gespiegelt.
Beschreibe, wie man die gespiegelte Gerade h* erhält.
Spiegle dann h an E und gib die Gleichung der Spiegelgeraden h* an.

E: 2x + 2y – 3z = 2.
A (2|5|4)
D (-1|3|-4)

Mein Ansatz war eine Lotgerade aufzustellen, die wie folgt lautet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch Schneiden mit der Ebene erhalte ich r = (-14/17), was aber laut Lösung falsch ist. Wo liegt mein Fehler?

Schöne Grüße
manni_12345

01.06.2011, 22:07

mYthos

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Wenn keine Rechnung zu sehen ist, können wir dir auch nicht sagen, wo du den Fehler gemacht hast.
Beschreibe doch einmal deine prinzipielle Vorgangsweise. Welchen Gewinn ziehst du aus dem Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene? Wie geht es weiter?

Tipp: Suche zunächst auch einen Punkt, welcher sowohl auf h als auch auf h* liegt!

mY+

01.06.2011, 22:18

manni_12345

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Gleichung einer Spiegelgeraden h*
Erstmal spiegle ich den Punkt D an der Ebene E. Ich vergaß zu erwähnen, dass A ein Punkt der Ebene ist.

Nun brauche ich ja den Lotfußpunkt L, an dem mein Punkt D gespiegelt werden kann und dann mittels D* und A eine Gerade aufzustellen...

Gesagt, getan... meine Lotgerade habe ich ja oben angegeben.

Nur was den Lotfußpunkt betrifft, bin ich mit den Werten alles andere als glücklich...

01.06.2011, 22:43

Gualtiero

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RE: Gleichung einer Spiegelgeraden h*
(mYthos ist anscheinend OFF)

Glücklich oder unglücklich, daran können wir nicht sehen, ob Dein Ergebnis richtig oder falsch ist. Augenzwinkern

Die -14/17 für den Parameter sind mal richtig. Und das ergibt auf alle Fälle unrunde Werte für die Koordinaten von L.

03.06.2011, 10:48

fontsix

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Ich glaube du hast beim Aufstellen deiner Geradengleichung einen Fehler gemacht, wenn du die 2 Punkte A und B gegeben hast, stellst du die Geradengleichung wie folgt auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 3 - 5 \\ -4 - 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Warum soll deine Gerade die Ebene schneiden ?

03.06.2011, 11:23

riwe

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Zitat:

Original von fontsix
Ich glaube du hast beim Aufstellen deiner Geradengleichung einen Fehler gemacht, wenn du die 2 Punkte A und B gegeben hast, stellst du die Geradengleichung wie folgt auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 3 - 5 \\ -4 - 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Warum soll deine Gerade die Ebene schneiden ?

das ist (noch) keine geradengleichung.
und zu deiner frage:
weil A punkt von E ist und g nicht in E liegt, wovon man sich leicht überzeugen kann. Augenzwinkern

mit der kritik am richtungsvektor hast du vollkommen recht Freude

das ergibt dann das viel schönere $\begin{eqnarray*} r = 1 \end{eqnarray*}$
und damit eine "hübsche" spiegelgerade smile

03.06.2011, 17:26

Gualtiero

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RE: Gleichung einer Spiegelgeraden h*
@fontsix
manni_12345 hat nicht gesagt, dass er die Gerade h, also die durch A und D, meint, sondern:

Zitat:

Original von manni_12345
Mein Ansatz war eine Lotgerade aufzustellen, die wie folgt lautet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch Schneiden mit der Ebene erhalte ich r = (-14/17), . . . .

Mit diesem r bekommt er den Lotfußpunkt, mit dem doppelten r den gespiegelten Punkt von D, nennen wir ihn D'.
Aus D' und A erhält er dann die gesuchte Gerade h*, was er vielleicht ohnehin schon gemacht hat, weil er sich nicht zurückmeldet.

Zu ergänzen wäre natürlich: $\begin{eqnarray*} \vec{x}= . . . \quad \text{oder}\quad \vec{l}= . . . \end{eqnarray*}$

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