Matrixgleichung

02.06.2011, 10:35	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixgleichung Hallo, ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{n \times m} \end{eqnarray}$ gegeben mit $\begin{eqnarray} Rang(A)=m \end{eqnarray}$ , und soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} A^{'}:=(A^T A)^{-1}A^T \in \mathbb R^{m \times n} \end{eqnarray}$ eine Linksinverse von A ist. Dass eine Linksinverse existiert ist klar. Nun habe ich allerdings ein Problem: Es ist $\begin{eqnarray} A'A=((A^TA)^{-1} A^T )A \end{eqnarray}$ Wenn ich nun das $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ einfach in die Klammer hinziehen könnte, käme ich auch auf das gesuchte Ergebnis: $\begin{eqnarray} A^{-1}(A^T)^{-1}A^TA \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =A^{-1}A = I \end{eqnarray}$ Problem ist nur: Ich denke, dass ich das $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ nicht hineinziehen darf, da ja nichts dazu angegeben ist, ob $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ selber wieder invertierbar sind, oder dass $\begin{eqnarray} m=n \end{eqnarray}$ gilt. Ich sehe allerdings keine Möglichkeit, diese Gleichheit anders zu zeigen. Kann mir jemand einen tipp geben, wie ich es ohne die oben genannte Möglichkeit zeigen könnte? danke schonmal im voraus.
02.06.2011, 10:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel einfacher. Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray} (XY)Z = X(YZ) \end{eqnarray}$
02.06.2011, 10:49	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, danke. das habe ich dann wohl übersehen

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