Fragen zu LGS

02.06.2011, 12:03

MatheKind

Fragen zu LGS

Hallo,
hier eine Aufgabe, bei der ich weiß, dass es noch eine andere Lösungsmöglichkeit gibt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y & z & w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 1 & -3 & 5\\ 1 & 1 & 2 & -1 & 3\\ 4 & 2 & -4 & 1 & 10\\ -1 & -3 & 6 & 3 & -19\\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_2 = 2*Z_2 - Z_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_3 = Z_3 - 4*Z_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_4 = Z_4 + Z_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 1 & -3 & 5\\ 0 & 3 & 3 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -12 & 5 & -2\\ 0 & -2 & 8 & 2 & -16\\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_3 = Z_3 + \frac{2}{3} Z_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_4 = Z_4 - Z_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 1 & -3 & 5\\ 0 & 3 & 3 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -10 & \frac{17}{3} & - \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 20 & -3 & -14\\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_4 = Z_4 + 2*Z_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 1 & -3 & 5\\ 0 & 3 & 3 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -10 & \frac{17}{3} & - \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{25}{3} & - \frac{58}{3} \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w = - \frac{58}{25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \frac{262}{250} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{44}{750} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = - \frac{553}{375} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A) = (2 * 3 *(-10)*\frac{25}{3} ) : 2 = -250 \end{eqnarray*}$

Eine weitere Lösung, die ich kenne, hat das Ergebnis

$\begin{eqnarray*} w = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

Die Determinante ist ebenfalls -250

Was mich nun wundert ist, dass sowohl meine Lösung, als auch die andere, die Probe (ich habe in die zweite Zeile eingesetzt) bestehen, obwohl mein Ergebnis z. B. nicht das Vielfache des anderen ist.
Habe ich vielleicht irgendetwas übersehen und habe einen Fehler gemacht bzw. wo kann ich meine Rechenschritte optimieren? Die vielen Brüche sind ja alles andere als optimal!

Liebe Grüße
MatheKind

02.06.2011, 14:00

tigerbine

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RE: Fragen zu LGS
Die Matrix ist regulär, die Lösung ist eindeutig.

code:

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95:

>> LGSmitGauss
 
Es wird ein LGS Ax=b mit Gaussalgorithmus gelöst
Es wird eine obere Treppenmatrix mit 1ern berechnet.
 
Matrix A eingeben: A= [2,-1,1,-3;1,1,2,-1;4,2,-4,1;-1,-3,6,3]
Vektor b eingeben: b= [5;3;10;-19]
 
 
Durchgang 1 
===========
 
pivot = 2 
 
Zeile 2 - 1 * Zeile 1 
 
Zeile 3 - 4 * Zeile 1 
 
Zeile 4 - -1 * Zeile 1 
 
A =
    1.0000   -0.5000    0.5000   -1.5000
         0    1.5000    1.5000    0.5000
         0    4.0000   -6.0000    7.0000
         0   -3.5000    6.5000    1.5000
b =
    2.5000
    0.5000
         0
  -16.5000
 
Durchgang 2 
===========
 
pivot = 1.5 
 
Zeile 3 - 4 * Zeile 2 
 
Zeile 4 - -3.5 * Zeile 2 
 
A =
    1.0000   -0.5000    0.5000   -1.5000
         0    1.0000    1.0000    0.3333
         0         0  -10.0000    5.6667
         0         0   10.0000    2.6667
b =
    2.5000
    0.3333
   -1.3333
  -15.3333
 
Durchgang 3 
===========
 
pivot = -10 
 
Zeile 4 - 10 * Zeile 3 
 
A =
    1.0000   -0.5000    0.5000   -1.5000
         0    1.0000    1.0000    0.3333
         0         0    1.0000   -0.5667
         0         0         0    8.3333
b =
    2.5000
    0.3333
    0.1333
  -16.6667
 
Durchgang 4 
===========
 
pivot = 8.33333 
A =
    1.0000   -0.5000    0.5000   -1.5000
         0    1.0000    1.0000    0.3333
         0         0    1.0000   -0.5667
         0         0         0    1.0000
b =
    2.5000
    0.3333
    0.1333
   -2.0000
x =
    1.0000
    2.0000
   -1.0000
   -2.0000
>> A\b
ans =
    1.0000
    2.0000
   -1.0000
   -2.0000
>>

Deine errechnete Lösung erfüllt die Probe nicht.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:	>> c=[-553/375;44/750;262/250;-58/25] c = -1.4747 0.0587 1.0480 -2.3200 >> A*c ans = 2.5000 0.3333 2.3627 -2.3200

02.06.2011, 14:22

MatheKind

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Ich habe den Fehler gefunden, danke!
Bei der letzten Matrix muss es $\begin{eqnarray*} - \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} - \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ heißen!

Liebe Grüße
MatheKind

02.06.2011, 14:24

tigerbine

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Gerne.

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