Konstruktion von Vektorräumen

02.06.2011, 12:04	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion von Vektorräumen Hallo, wir sind in Lineare Algebra II gerade bei dem Kapitel: "Konstruktion von Vektorräumen" Genauer: "Produkt und Koprodukt" Das habe ich erstmal nicht verstanden und arbeite es dementsprechend noch mal durch. Dabei gibt es direkt am Anfang schon Unklarheiten. Es geht um das Produkt von Vektorräumen: Sei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ eine Menge (Indexmenge), und für alle $\begin{eqnarray} i \in I \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ ein K-Vektorraum (K Körper). Haben Produktmenge: $\begin{eqnarray} \prod \limits_{i \in I}^{} V_i = \{(v_i)_{i \in I} \ \ ; \ \ v_i \in V_i\} \end{eqnarray}$ Hier verstehe ich jetzt schon nicht so genau, wie diese Menge aussieht. Werden da einfach alle Vektoren aus allen Vektorräumen genommen und zusammengefasst? Also vielleicht kann ja mal jemand ein Beispiel von zwei Vektorräumen geben, von welchen man dann die Produktmenge bildet. Wäre wirklich sehr nett :-) Gruß Martin
02.06.2011, 13:26	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Elemente sind Folgen von Elementen der einzelnen Vektorräume. Bildet man das Produkt zweier Vektorräume so entspricht das einfach den 2-Tupeln. Ein typisches Element aus $\begin{eqnarray} \mathbb C \times \mathbb R[x] \end{eqnarray}$ z.B. wäre $\begin{eqnarray} (1+i, \pi x + x^2) \end{eqnarray}$
02.06.2011, 13:56	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, ich probier dann mal das koprodukt / (äußere) direkte summe zu formulieren um zu gucken ob ich das verstanden hab: die direkte Summe ist die Teilmenge: $\begin{eqnarray} \{ (v_i)_i \in \prod \limits_{i \in I}^{}V_i \ \ ; \ \ v_i = 0 \end{eqnarray}$ für alle bis auf endlich viele $\begin{eqnarray} i \in I \end{eqnarray}$ Soweit die Definition. Bedeutet das dann, dass in der Menge all die die Tupel aus v_i sind, in welchen fast alle v_i = 0 sind? Ich hab noch ein kleines Poblem mit den Indizes. Wie sieht so ein Tupel aus? $\begin{eqnarray} (v_1...v_n \in V_1, v_1...v_n \in V_2, v_1...v_n \in V_3, . . . . .) \end{eqnarray}$ und das halt in allen variationen? Oder wie sieht sowas aus? Unterscheidet sich das von dem Kartesischen Produkt? Irgendwie gelingt es mir noch nicht so ganz, die Begriffe alle klar voneinander abzugrenzen und irgendwie fehlt mir noch die Vorstellung. Gruß Martin
02.06.2011, 15:36	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das direkte Produkt oder auch das Koprodukt von endlich vielen Vektorräumen entspricht dem direkten Produkt. Deswegen kann man dort auch die Folgen mit Tupeln identifizieren. Was du jetzt hast ist eine bestimmte Folge. Ein Element aus $\begin{eqnarray} \prod_{i\in I} V_i \end{eqnarray}$ kann man also auch als Funktion $\begin{eqnarray} f : I \to \bigcup_{i\in I} V_i \end{eqnarray}$ sehen mit $\begin{eqnarray} f(i) \in V_i \end{eqnarray}$
02.06.2011, 15:46	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
ah gut, wenn dann f die gesamte Indexmenge also abgebildet hat auf Elemente aus der Vereinigung aller V_i, und f(i) ist für fast alle i = 0, dann gehört das Element zum koprodukt. Wenn aber unendlich viele f(i) ungleich 0 sind, dann gehört das Element zum Produkt der V_i. Wie ist das dann bei einer endlichen Indexmenge mit dem direkten Produkt? Also wenn man als Indexmenge einfach 1,2,...,10 hat, und f(1) = 0, f(2) bis f(10) ungleich 0, gehört das dann zum direkten Produkt? es sind ja alle v_i = 0 bis auf endlich viele.

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