Vollständige Induktion

02.06.2011, 15:49

nano_basti

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo, Ich studiere Nanotechnologie, 1. Semester.
In der Mathevorlesung kam nun eben die vollständige Induktion dran, und ich denke dass ich das Prinzip bzw das Rezept recht gut verstanden habe.

Nur habe ich hier eine Aufgabe, bei der der Induktionsschritt einfach nicht aufgehen will.

Die Aufgabe heißt:
Für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-x) \sum\limits_{k=0}^n (1+x^{2^{k}}) = 1-x^{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$
ACHTUNG: Es handelt sich NICHT um die Summenformel!!! Ich habe das richtige Zeichen im Formeleditor nicht gefunden. Es sieht aus wie ein großes eckiges PI, und es hat fast die selbe Funktion wie eine Summenformel, nur dass die einzelen Teile multipliziert statt addiert werden, also a1 * a2 * a3 ... *a n . ansonsten wie bei der angegeben summenformel, k=0.

Meine Ideen:
Nun ja, ich habe den Induktionsanfang für n=0 bewiesen. Funktioniert.
Da unsere Tutorin meinte, n=0 ist nicht immer eindeutig, habe ich auch noch n=1 bewiesen, funktioniert auch.

Meine Ind.behauptung sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} (1-x) \sum\limits_{k=0}^n (1+x^{2^{k}}) = 1-x^{2^{n_{0}+1}} \end{eqnarray*}$
Dann setze ich n => n+1

im folgenden ziehe ich die "Multiplikationsformel" auseinander einmal für n und einmal für n+1

$\begin{eqnarray*} (1-x) \sum\limits_{k=0}^n (1+x^{2^{k}}) * (1 + x^{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$
Da der erste Teil vor dem * genau Teil 1 meiner Ind. Behauptung entspricht, kann ich das ganze durch $\begin{eqnarray*} 1-x^{2^{n_{0}+1}} \end{eqnarray*}$ ersetzen.

So dass im folgenden dasteht: $\begin{eqnarray*} ( 1-x^{2^{n+1}} ) *( 1+x^{2^{n+1}} ) \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst $\begin{eqnarray*} 1-x^{2^{2n+2}} \end{eqnarray*}$

Leider ist nun $\begin{eqnarray*} 1-x^{2^{2n+2}} \neq 1-x^{2^{(n+1)+1}} \end{eqnarray*}$

Irgendwie hab ich genau ein n zuviel im exponenten.

Oder habe ich mich verrechnet oder irgendwo etwas komplett falsch gemacht? das komische ist, ich halte mich sehr genau an die Vorgehensweise meiner Tutorin in der Übung wo wir ein ganz ähnliches Beispiel behandelt haben...

Vielen Dank im Vorraus!

Sebastian

02.06.2011, 17:34

nano_basti

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ich habe grade gesehen, dass es zusammengefasst $\begin{eqnarray*} (1- x^{4^{n+1}} ) \end{eqnarray*}$ heißen müsste, aber das bringt mich trotzdem nicht zur gewünschten form

02.06.2011, 19:41

HAL 9000

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Merkwürdig, wieviele Studenten so katastrophale Rechenfehler bei einfachen Potenzrechnungen machen: Es ist

$\begin{eqnarray*} x^{2^{n+1}} \cdot x^{2^{n+1}} = x^{2^{n+1}+2^{n+1}} = x^{2\cdot 2^{n+1}} = x^{2^{n+2}} \end{eqnarray*}$ .

02.06.2011, 20:10

nano_basti

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ja, dass es nicht wie im ersten Post ist, ist mir schon bewusst, war wohl nicht ganz bei der Sache bzw mit exponenten im Exponenten nicht vertraut.
Jetzt wenn du mir noch erklärst wie du den letzten Schritt $\begin{eqnarray*} x^{2\cdot2^{n+1}} = x^{2^{n+2}} \end{eqnarray*}$ machst, dann werd ich entweder vom Schlauch runtergehen und mir gegen den Kopf schlagen oder mich schämen und meine Wissenslücken ganz schnell auffüllen. In jedem Fall wär ich dir dankbar.

02.06.2011, 20:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von nano_basti
Jetzt wenn du mir noch erklärst wie du den letzten Schritt $\begin{eqnarray*} x^{2\cdot2^{n+1}} = x^{2^{n+2}} \end{eqnarray*}$

Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} a^b\cdot a^c = a^{b+c} \end{eqnarray*}$ , angewandt auf $\begin{eqnarray*} a=2,b=1,c=n+1 \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} 2^1\cdot 2^{n+1} = 2^{1+(n+1)} = 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ ,

nichts weiter passiert da im Exponenten von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

02.06.2011, 20:26

nano_basti

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Ogott ich bin so unfassbar dumm. Und ich hab schon überlegt ob es vllt ein Potezgesetz gibt von dessen Existenz ich noch nichts wusste. Naja aber man müsste auch erwarten können zu sehen dass es ja $\begin{eqnarray*} 2^{1} \end{eqnarray*}$ heißt. Mein lieber Herr Gesangsverein, ich bin doch etwas geschockt wie blind man sein kann.

Also danke dir für die Erleuchtung, zumindest scheint ja mein Vorgehen zum Beweis der vollständigen Induktion zu stimmen, solange es nicht an simplen Rechengesetzen scheitert.

Danke nochmal.
Hammer

Ich habs nicht anders verdient -.-

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