semidefinite Hessematrix, Extremum?

02.06.2011, 16:40	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
semidefinite Hessematrix, Extremum? Hallo Ich hab folgende Funktion gegeben: $\begin{eqnarray} f(x,y)=4x^{4}-3x^{2}y+y^{2} \end{eqnarray}$ und soll untersuchen, ob f an der Stelle $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ ein lokales Minimum hat Berechnung der Hessematrix ergibt bei mir: $\begin{eqnarray} Hf=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also eine semidefinite Matrix, also ist erst mal keine Aussage über mögliches Extremum möglich. Meine Vermutung ist jetzt, dass (0,0) trotzdem ein lok. Minimum ist, nur wie beweis ich das? Reicht es aus, dass $\begin{eqnarray} f(x,0)=4x^{4} >0 f(0,y)=y^{2} >0 \end{eqnarray}$ ? Gruß Biene
02.06.2011, 16:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: semidefinite Hessematrix, Extremum? Nein, so hast du ja nur 2 Richtungen untersucht. Es muss für jede beliebige Annäherung gelten (Geraden reichen da auch nicht). Ich tippe hier sogar darauf, dass du genau das zeigen sollst. Das es eben kein lokales Minimum ist. Finde also eine nichtlineare Annäherung an (0,0). WS reicht was quadratisches schon aus.
02.06.2011, 17:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin eher der Meinung, dass Biene (die mit ie) durchaus Recht hat mit ihrer (noch nicht begründeten) Vermutung. Dazu schreibe man mal: $\begin{eqnarray} f(x,y) = (2x^2-y)^2+x^2y \end{eqnarray}$ . Nun kann für positive y sowieso nichts mehr passieren. Also sei y < 0 und wir wollen zeigen, dass dann $\begin{eqnarray} f(x,y) \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|2x^2-y\| = 2x^2+\|y\| \geq 2 \sqrt{2x^2\|y\|} \end{eqnarray}$ . Erstmal die Frage: Warum gilt die erste Gleichheit und warum die Abschätung danach? Wenn man das beantwortet hat, dann kann man mal quadrieren und dann stehts schon fast da. Edit: Für y < 0 sieht man übrigens der ursprünglichen Form der Funktion schon sofort an, dass sie nicht negativ ist. Also wären die letzten Überlegungen gar nicht mehr nötig gewesen
02.06.2011, 17:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachgerechnet habe ich es nicht. Wir hatten hier eine "ähnliche" aber nicht gleiche Aufgabe. Stationäre Punkte (2)
02.06.2011, 22:12	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tmo Vielen, vielen Dank, deine Antwort hat mir sehr weitergeholfen. Gruß Biene

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