Stabilität von DGL |
| 02.06.2011, 16:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Stabilität von DGL ich möchte grob die Begriffe ordnen. Also es ist ein Unterschied, ob ich eine DGL auf Stabiität prüfe oder ein numerisches Verfahren zur Lösung einer DGL? Bei einer DGL würde man dann für ein AWP prüfen, wie sich die Lösung verändert, wenn man den Startwert ein wenig ändert? Prüft man das generell oder nur für bestimmte Startpunkte, z.B. solche, wo eine konstante Lösung rauskommt. Sind das dann kritische Punkte? Beispielsweise stelle ich mir ein Pendel vor. Die Funktion y, die mir die Lage/Ausrichtung des Pendels zu einem Zeitpunkt t angibt, kann man ggf. nicht direkt hinschreiben, sie ist aber Lösung einer Differentialgleichung. Also aus der Physik bekommt man irgendwie einen Zusammenhang zwischen Ableitungen von y. Stationär, also y als konstante Funktion wäre Auslenkung von 0° und 180° (Kopfstand). Wenn ich die 0° Auslenkung leicht ändere, pendelt es sich aber wieder in die 0° Lage ein. Dann wäre y zu 0° eine stabile Lösung. Wenn man die Kopflage 180° leicht ändert, pendet sich das nun aber nicht wieder in den Kopfstand ein. Die zu 180° gehörige Lösung y stellt sich nun aber nicht wieder ein, sie ist also instabil. Das war Physik für ... 
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| 05.09.2011, 18:50 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallöchen, ich habe gerade ein wenig im Forum gestöbert und deinen Thread hier gefunden. Besteht bei dir noch Bedarf an Klärung? Ich könnte ein paar Sätze dazu schreiben, müsste mich aber vorher ein wenig sammeln. 
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| 05.09.2011, 19:40 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für Leser bestimmt interessant. Also feel free to answer.
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| 06.09.2011, 12:07 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also, was mir dazu einfällt: Man kann nicht von der Stabilität von DGLs sprechen. Wir sprechen von Stabilität von Gleichgewichtslösungen. Also von Stabilität von konstanten Lösungen (Nullstellen der rechten Seite). Schauen wir uns mal das Phasenraumportrat des mathematischen Pendels an: Das DGL - System für das mathematische Pendel lautet: . [attach]21045[/attach] So, ich habe mal den x-Wert der Gleichgewichtslösungen rot markiert. Wie man sieht (hoffentlich ?), ist der stationäre Punkt stabil, aber nicht. Und tatsächlich sind nur diese Punkte interessant. Lax gesagt sehen alle Vektorfelder von DGLs außerhalb von stationären Lösungen gleich aus, man kann sie transformieren. Lediglich das Verhalten an den stationären Punkten ist interessant. Den Begriff der (Bahn-) Stabilität gibt es auch für periodische Lösungen. Das sind in diesem Fall die geschlossenen Bahnen um die 0 herum. Die sind alle stabil. Und ganz zum Schluss gibt es auch noch den Begriff der (Punkt-) Stabilität. Die Begriffe haben alle nichts mit der Numerik zu tun, ob das alles gut lösbar bleibt oder nicht, ist wurscht. Diese Sichtweise fragt nach dem Verhalten der Lösung, aber nicht nach der guten Lösbarkeit. (Edit: Post Nummer 4000! Yeah!) |
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