LGS mit Parametern

02.06.2011, 18:51	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit Parametern Hallo, ich habe ein LGS mit 2 Parametern, $\begin{eqnarray} a \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ gegeben. Ich poste es direkt in Matrixform: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} b&-3&a-1&5 \\ 20 & 10 & 30 & 10 \\ a+2 & 5 &7&20 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wobei die 4. Spalte die rechte Seite des LGS sein soll. (Ich weiß nicht, wie man eine erweitere Koeffizientenmatrix in Latex erstellen kann). Gesucht ist nun, für welche a und b das System keine / genau eine / mehrere aber endlich viele / unendliche viele Lösungen in $\begin{eqnarray} \mathbb Q^3 \end{eqnarray}$ hat, und man soll alle Lösungen bestimmen. Ich wollte da einfach mit Gauß rangehen: Zuerst die zweite Zeile mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{20} \end{eqnarray}$ multiplizieren: $\begin{eqnarray} \to \begin{pmatrix} b&-3&a-1&5 \\ 1 & \frac12 &\frac32 & \frac12 \\ a+2 & 5 &7&20 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann wollte ich die erste und zweite Zeile tauschen: $\begin{eqnarray} \to \begin{pmatrix} 1 & \frac12 &\frac32 & \frac12 \\b&-3&a-1&5 \\ a+2 & 5 &7&20 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann addiere ich einmal das $\begin{eqnarray} -b \end{eqnarray}$ fache der ersten Zeile zur zweiten und einmal das $\begin{eqnarray} (-a-2) \end{eqnarray}$ fache der ersten Zeile zur dritten: $\begin{eqnarray} \to \begin{pmatrix} 1 & \frac12 &\frac32 & \frac12 \\ 0 &-3-\frac12 b & a-1-\frac32 b & 5-\frac12 b\\ 0 & 4-\frac12 a & -\frac32 a +4 & -\frac12 a +19\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt komme ich aber nicht mehr weiter. Habe ich vielleicht schon etwas falsch gemacht? vielen dank schonmal im voraus.
02.06.2011, 23:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit Parametern Es ist günstiger, wenn Du die zweite Spalte zuerst zum Einheitsvektor machst: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} b&-3&a-1&5 \\ 20 & 10 & 30 & 10 \\ a+2 & 5 &7&20 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\ b&-3&a-1&5 \\ a+2 & 5 & 7 & 20 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\ b+6 & 0 & a+8 & 8 \\ a-8 & 0 & -8 & 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Danach nutzt Du die dritte Spalte, um einen weiteren Einheitsvektor zu erzeugen und liest die Bedingungen anschließend ab.
04.06.2011, 11:12	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, dann versuche ich das mal. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} b&-3&a-1&5 \\ 20 & 10 & 30 & 10 \\ a+2 & 5 &7&20 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\ b&-3&a-1&5 \\ a+2 & 5 & 7 & 20 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\ b+6 & 0 & a+8 & 8 \\ a-8 & 0 & -8 & 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \begin{pmatrix} 2&1&3&1 \\b+6 &0&a+8&8 \\-\frac18 a +1 & 0 & 1 & -\frac{15}{8} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \begin{pmatrix} \frac38 a -1&1&0&\frac{53}{8} \\-\frac18 a^2+b-2&0&0&\frac{15}{8}a+23 \\-\frac18 a +1 & 0 & 1 & -\frac{15}{8} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \begin{pmatrix} 3a-8&8&0&53\\-a^2+8b-16&0&0&15a+184\\-a+8&0&8&-15 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun zum ablesen der Bedingungen: Wenn $\begin{eqnarray} -a+8=0 \Leftrightarrow a=8 \end{eqnarray}$ , dann habe ich genau eine Lösung,nämlich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{53b-834}{16(b-10)} \\ \frac{38}{b-10} \\ -\frac{15}{8} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , hierbei muss dann aber auch $\begin{eqnarray} b \neq 10 \end{eqnarray}$ gelten. Wenn $\begin{eqnarray} -a^2+8b-16=0 \end{eqnarray}$ gilt, dann hat das LGS keine Lösung. Wenn $\begin{eqnarray} 3a-8=0 \end{eqnarray}$ gilt, habe ich dann unendlich viele Lösungen, da ich dann einen freien Parameter einführen muss. Habe ich noch einen Fall übersehen?
04.06.2011, 13:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann deine Überlegungen am Ende nicht wirklich nachvollziehen. Wenn Du die Zeilen umsortierst hast Du eine obere Dreiecksmatrix und die Lösbarkeit des zugehörigen GLS hängt lediglich von der letzten Zeile ab. Wieso hast Du die anderen mit einbezogen?

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