Satz von Gauß, quaderf. Bereich

02.06.2011, 19:34

wiebschken

Satz von Gauß, quaderf. Bereich

Meine Frage:
Hallo,
ich soll für das Vektorfeld V den Satz von Gauß bestätigen und bin völlig am verzweifeln.

$\begin{eqnarray*} \vec{V} = \begin{pmatrix} x^{2} \\ y^{2} \\ z^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit den Grenzen des quaderförmigen Bereichs

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq a 0\leq y\leq b 0\leq z\leq c \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das folgende Integral kriege ich noch gelöst, bin mir aber nicht wirklich sicher ob es stimmt :-/

$\begin{eqnarray*} div(\vec{V}) = 2x+2y+2z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\ \int_V\ \int\ div(\vec{V})dV = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^c \ \int_0^b\ \int_0^a\ 2x+2y+2z\, dxdydz = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2}bc+ab^{2}c+abc^{2} \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich vor bei der Lösung auf dem zweiten Weg??

$\begin{eqnarray*} \int_F \int \vec{V} d\vec{\sigma} \end{eqnarray*}$

Wäre echt cool wenn mir jemand helfen könnte :-)

02.06.2011, 19:47

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Oberfläche eines Quaders besteht aus 6 Rechtecken, wobei die gegenüberliegenden Rechtecke deckungsgleich sind. Du musst jeweils den Fluss durch diese Rechtecke berechnen. Das sind 6 Oberflächenintegrale.

02.06.2011, 20:10

wiebschken

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das klingt einleuchtend.
Wie würde denn z.B. das Integral für die Bodenfläche aussehen, angenommen ich lege fest,dass die beiden Seiten x und y sind??

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \ \int_0^a x*y \,dxdy \end{eqnarray*}$

Ich habe noch nicht wirklich ne Ahnung wie ich das machen soll traurig

02.06.2011, 21:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wiebschken
$\begin{eqnarray*} \int_0^b \ \int_0^a x*y \,dxdy \end{eqnarray*}$

Das ist das falsche Integral. unglücklich

Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \ \int_0^a \vec{V} \cdot \dd\vec{\sigma} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \dd\vec{\sigma} = \vec{n} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ ist, mit einem Einheitsnormalenvektor dieser Fläche, der nach "außen" zeigt. Das ist im Falle der Bodenfläche der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \ \int_0^a \begin{pmatrix} x^2 \\ y^2 \\ z_0^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} ~ \dd x ~ \dd y = \int_0^b \ \int_0^a (-z_0^2) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ die z-Koordinate der Bodenfläche ist.

02.06.2011, 22:34

wiebschken

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich das richtig, dass der n-Vektor auf der Bodenfläche entgegen der z-Richtung nach unten zeigt und daher -1 ist? Dann wäre er für den Deckel ja (0 0 1).
Ich verstehe noch nicht warum Du statt z^2 z0 eingesetzt hast.
Tut mir leid, dass ich so schwer von Begriff bin! :-(
Aufjedenfall erstmal Danke für die Hilfe!

02.06.2011, 22:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wiebschken
Ich verstehe noch nicht warum Du statt z^2 z0 eingesetzt hast.
Tut mir leid, dass ich so schwer von Begriff bin!

Wie man es nennt, ist doch egal - wichtig ist nur, dass die z-Koordinate aller Punkte der Bodenfläche konstant gleich Null ist.

02.06.2011, 22:42

wiebschken

Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum ist das der Fall?

02.06.2011, 22:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nun wirklich eine dumme Frage: Wo hast du denn die Bodenplatte hingelegt?

Zitat:

Original von wiebschken
[...] mit den Grenzen des quaderförmigen Bereichs

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq a 0\leq y\leq b 0\leq z\leq c \end{eqnarray*}$

Was steht da in der letzten Zeile für eine untere Grenze?

02.06.2011, 22:55

wiebschken

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja okay, jetzt wo Du's sagst...

02.06.2011, 22:58

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe einfach davon aus, dass du darüber

Zitat:

Original von Ehos
Die Oberfläche eines Quaders besteht aus 6 Rechtecken, wobei die gegenüberliegenden Rechtecke deckungsgleich sind. Du musst jeweils den Fluss durch diese Rechtecke berechnen. Das sind 6 Oberflächenintegrale.

nachgedacht hast, insbesondere über die Parametrisierung dieser 6 Flächen. Eines dieser Oberflächenintegrale hast du jetzt, es bleiben noch die anderen 5.

02.06.2011, 23:04

wiebschken

Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, ich glaube ich habs verstanden smile

Für den Deckel komme ich auf
$\begin{eqnarray*} c^{2}ab \end{eqnarray*}$
Bleiben ja nur noch die restlichen Flächen.
Vielen Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Satz von Gauß, quaderf. Bereich

Verwandte Themen