Integralrechnung-Parameteraufgaben

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Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung-Parameteraufgaben
Hallo,
hich habe mich neu in diesem Forum angemeldet, weil ich hoffe, dass mir jemand bei den beiden folgenden Aufgaben helfen kann.

1.) Die Parabel f(x)=3-3x^2 soll durch eine horizontale Gerade halbiert werden. Wo liegt diese?

2.) Der Graph von f(x) = 1/8x^2-1/4x+3 und die beiden Koordinatenachsen schließen im 1. Quadranten des Koordinatensystems eine Fläche ein. Diese wird durch die Winkelhalbierende des ersten Quadranten in zwei Teile geteilt. In welchem Verhältnis stehen deren Inhalte A1 und A2 zueinander?

Also bei beiden Aufgaben habe ich mir schonmal die Nullstellen errechnet, welche lauten: 1.) x1=1 und x2=-1; 2.) x1=4 und x2=-6

Des Weiteren habe ich mir mit Hilfe der Intergration die jeweilige Gesamtfläche berechnet:
1.) A=4; 2.) A=22/3

Doch nun weiß ich nicht, wie ich weiter rechnen soll. Ich habe schon vieles ausprobiert, nur leider waren alle Ergebnisse weit vom Richtigen entfernt. In der Schule haben wir bereits Paramteraufgaben und Verhältnisse mit Senkrechten berechnet, womit ich auch gar keine Probleme hatte, aber hier seh ich zurzeit schwarz. traurig
Ich hoffe, dass mir jemand wenigstens einen Ansatz geben kann.

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intergralrechnung-Paramteraufgaben!
Hallo Kalle,

wenn Du die Rechnung mit Senkrechten ausführen kannst, dann ist das schon eine sehr gute Voraussetzung.

Nimm zuerst Beispiel b)

Die Gerade ist nicht senkrecht g(x)=a (a soll konstanter x-Wert sein), sondern g(x)=x.

Zeichne Dir die Winkelhalbierende g(x): y=x im I.Quadranten ein und gehe genauso vor,
wie bei Deinen bisherigen Aufgaben.

LG Mathe-Maus Wink
Mathewolf Auf diesen Beitrag antworten »

Welchen Ansatz hast du denn gewählt?
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intergralrechnung-Paramteraufgaben!
Du hast einen Vorzeichenfehler bei Aufgabe b). Die Funktion muss lauten:

Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal dafür, dass ich euch Zeit genommen habt, um mir zu helfen. Leider kam ich immer noch nicht auf die Lösung. Mitlerweile hab ich schon alles mögliche an Rechenwegen ausporbiert, aber immer kommen voll utipische Erbenisse raus oder es ist schlichtweg nicht lösbar.

Wie gesagt klappt das rechnen mit senkrechten wunderbar, nur irgendwie kriege ich die Vorgehensweise, wie von Mathe-Maus empholhen, heirbei nicht hin.
Ich wäre euch nochmal sehr dankbar, wenn ihr noch ein bisschen helfen könntet, denn langsam macht es keinen Spaß mehr immer ohne Lösung den hefter weg zulegen. Zudem schreibe ich nächste Woche Klausur und vielleicht kommen da solche Aufgaben dran.

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kalle,

Du hast doch schon einen Teil der Aufgabe b) gelöst! Also Kopf hoch! Freude

Mögliche Vorgehensweise:

1) Berechne Nullstellen -> erledigt
2) Berechne A im I.Quadranten -> erledigt

3) Zeichne f(x) im I.Quadranten
4) Zeichne g(x) im im I.Quadranten
5) Berechne den gemeinsamen Schnittpunkt P durch Gleichsetzen: f(x)=g(x)
(Wenn es einen Schnittpunkt gibt, dann wird die Gesamtfläche geteilt und ist macht Sinn
weiterzurechnen. Gibt es keinen Schnittpunkt, dann ist irgendwo ein Fehler ...)
6) Benenne die obere Fläche mit

Wenn Du das hast, machen wir weiter ...

LG Mathe-Maus Wink
 
 
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir, also Schnittpunkt war auch schonmal ne Überlegung von mir, aber ich konnt mit dem dann nichts weiter anfangen.

Trotzdem hab ich einfach mal deine Liste abgearbeitet. Habe nun eine zeichnung vor mir liegen und auch einen Schnittpunkt S(2/2) errechnet. Mein weiterer geadnke wäre nun den Inhalt von einer der beiden Teilflächen auszurechnen, damit ich diese letztendlich von der Gesamtfläche abziehen kann und beide Flächeninhalte habe, woraus ich das Verhältnis bilden kann.

Jedoch wie komm ich erst mal an eine dierer Flächen ran? verwirrt

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar ! P(2|2) Freude

Idee: Abziehen einer Teilfläche von der Gesamtfläche = perfekt ! Freude

Jetzt schaue Dir die untere Teilfläche an.
Ziehe vom Punkt P eine Senkrechte auf die x-Achse.

Du erhälst dadurch 2 Teilflächen, die Du einzeln berechnen kannst.
Klar soweit ? Ideen zur Berechnung der beiden unteren Teilflächen ?

LG Mathe-Maus Wink
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Jawoll Mathe ergibt dank dir wieder einen Sinn. Gott

Ich hab für die untere Fläche eine Inhalt von 25/6 FE und für die obere Fläche eine Inhalt von 19/6 FE errechnet sodass sich ein verhältnis von 25:19 ergeben müsste, wenn ich mich nicht täusche.
Letztendlich war es auch gar nicht so schwer, wenn ich bedenke mit was für Formeln und so ich da schon rum probiert hatte.

Ist es richtig, dass ich mir bei solchen Aufgaben immer mit senkrechten helfen muss, um auf die Lösung zu kommen? Also wenn ja, werd ich bei 1.) auch einfach mal so rangehen.

Und vielen Dank nochmal für deine Hilfe! Freude

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Soooo, lieber Kalle, dass war jetzt auf die unelegante Art und Weise.
Jetzt kommen wir zu den Rosinen (=elegante Art).

Bitte führe auch diese Rechnung durch, da nachfolgende Vorgensweise immer wieder vorkommen wird!

Nochmals zu b) mit Thema Differenzfunktion:

1) Berechne die Fläche -> hast Du schon gemacht.
2) Berechne den Schnitpunkt P -> hast du schon gemacht.
3) Skizze machen -> hast Du schon gemacht.

4) Jetzt mitdenken ! Im Intervall [0;2] haben wir die Funktion f(x) und g(x).

Die Funktion f(x) hat in diesem Intervall eine Fläche.
Die Funktion g(x) hat in diesem Intervall eine Fläche.

Wir ziehen von der Fläche f(x) die Fläche g(x) ab !

Somit heisst die Differenzfunktion dx(x)= f(x)-g(x).

dx im Intervall [0;2] integrieren!
Diese Differenzfunktion gibt uns die Fläche

Versuche, dies anhand Deiner Skizze zu verstehen !

Wenn Du die Differenzfunktion integriert hast, musst Du für auf den gleichen Wert wie bei Deiner ersten Rechnung kommen.

Ich freu mich auf Deine Antwort!

LG Mathe-Maus Wink
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Cool hat gleich auf Anhieb funktioniert.

So und jetzt noch mal zu Erstens: Kann ich da so ähnlich rangehen, nur dass ich eben einen Paramter in den Grenzen hab und nach diesen dann umstellen muss??

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) Ja, man kann ähnlich rangehen, zB. auch mit der Differenzfunktion.

Mach Dir bitte wieder eine Skizze. Die waagerechte Funktion ist dann g(x)=a.
In den Koordinaten des Schnittpunktes ist dann jedoch auch a enthalten.

Ich bin grad noch am überlegen, ob die Differenzfunktion die günstigste Lösungsmethode ist,
im Hinterkopf hab ich noch zwei andere Möglichkeiten,
muss ich aber selbst erstmal rechnen.

Bin heute nachmittag nochmal online, ansonsten erst abends (wenn die Sonne untergeht ...)

LG Mathe-Maus
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann versuch mich mal an a) ...
Also hier erstmal eine Zeichnung ...



nun hab ich wieder g(x)=a mit f(x)=3-3x^2 gleich gesetzt:

a=3-3x^2 |-3
a-3=-3x^2 |*(-1/3)
x^2=1-1/3a

x =

ist nen ziemlich komischer Wert, hoffe mal dass kein Fehler drin ist.
Naja die Schnittpunkte wären in deisem Fall dann: S1(/a) und S2(-/a)
Nun dachte ich mir die Fläche aufgrund der Symmetrie einmal zu teilen, also ducrh die y-achse, damit das rechnen leichter ausfällt.

Des Weiteren habe ich bereits versucht a zu errechnen indem ich das Inetgral zwischen S1 und 1 mit dem Inetgral zwischen 0 und S1 (diese Fläche ist ein Rechteck) addiere und es letztendlich mit 1 gleichsetze (1, weil 1/4 von der Gesamtfläche A=4), um nach a umzustellen. Kammen aber nur blöde Werte heraus, die beim einzeichnen niemals die Fläche in zwei gleich große Hälften teilen.
War dieser Weg völliger Quatsch oder ist nur nen kleiner Fehler drin?

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kalle,

der Ansatz ist perfekt ! Freude

Beim Berechnen der Schnittpunkte ist Dir ein klitzekleiner Fehler unterlaufen:
a-3=-3x^2 |*(-1/3)
x^2=1-1/3a

Es muss rauskommen: x =
Beim nochmaligen Drüberschauen findest Du bestimmt den Fehler ...

Der Ansatz, nur den I.Quadranten zu betrachten ist sehr gut ! Freude

Berechne jetzt den Flächeninhalt von f(x) im I.Quadranten.
Da zwei gleichgroße Flächen entstehen sollen, benennen wir die obere Fläche mit und die untere mit
(Es kommt eine sehr schöne glatte Zahl raus. -> Nachtrag, das hast Du ja schon gemacht!)

Zeichne Dir jetzt zur Verdeutlichung eine Gerade a ein, wo sie etwa liegen könnte und den Schnittpunkt P.

Anschließend bilde wieder die Differenzfunktion dx(x) = f(x)-g(x)
Nun kannst Du diese integrieren in den Grenzen von 0 bis zum (korrigierten) x-Wert von P.

Da Du ja bereits weisst, welche Fläche rauskommen muss, kannst Du diese auch gleich einsetzen.

Hinweis: Beim Rechnen mit der oberen Grenze (Wurzel) sehr genau aufpassen, das ist etwas kniffelig ! Wurzel und Potenzgesetze sind hier anzuwenden.

Das Ganze dann nach a umstellen und fertig!

LG Mathe-Maus Wink

PS: Es gibt noch eine andere Variante, die ein Hauch einfacher ist, aber dazu später.
Es wäre sehr gut, wenn Du in diesem Beispiel hier das Verfahren mit der Differenzfunktion festigst, das wirst Du noch öfter brauchen.
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
also ich habe es versucht mit der Differnezfunktion zu rechnen, aber ich komme immer auf das selbe blöde Ergebis. Und noch zu meinem x-Wert, ich glaub wir meinen da das selbe, nur dass ich ihn ein bisschen ungünstig aufgeschrieben habe. Bessere wäre gewesen:

Aber komme ich wieder zum anderen Teil. Ich habe wie folgt gerechtnet:

1= - (Grenzen hab ich jetzt bewusst weggelassen, weil das ein bisschen umständlich mit dem Editor ist)

1=[3x-x^2] - [ax]

1=(3 - (1-a/3) ) - (a )

1=3 - + a/3 - a

1=2-2/3a

0=2-2/3a-1 |( )^2

0=4(1-a/3)-(4a/9)^2(1-a/3)+1

0=4-4a/3-(4a/9)^2+(4a/27)a^3+1

0=-4a/3-(4a/9)^2+(4a/27)a^3+5

... (ich glaub hier brauch ich nicht mehr weiter rechnen, weil bestimmt schon davor etwas falsch ist)

Ich hoffe, dass du mir bei dem Ducrheinander noch helfen kannst.

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz zur Differenzfunktion ist okay:

oder anders geschrieben

Bei der Integration hast Du ein hoch x vergessen !
Integriere bitte nochmal ...

Beim Ausrechen des Integrals klammere am besten ein x aus.

Sollte dann so aussehen:

Jetzt die obere Grenze (Wurzel) einsetzen.

Vom Weg her sieht Deine Rechnung schon gut aus, ist nur schwer lesbar.

Hilfreich ist auch zu wissen, dass ist.

LG Mathe-Maus Wink
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich hab mich gleich noch mal mit deinen Tipps rangemacht, aber immer noch nix.

Also wenn ich die Wurzeln auflöse ausmultipliziere und so, dann komme ich auf folgenden Wert:




Ich versteh es einfach nicht.
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Kopf hoch, das Grundlegende dieser Aufgabe hast Du doch richtig gemacht,
es verbleiben nur noch ein paar Schusselfehler .... Augenzwinkern

Punkt 1) verstanden ?


Punkt 2) Für x die obere Grenze einsetzen (den Wurzelinhalt hab ich aus Faulheit hier mit ... ersetzt):


Punkt 3) Wurzel zum Quadrat vereinfachen (siehe Wurzelgesetze):


Punkt 4) Klammerausdruck vereinfachen:


Bis dahin verstanden?

Jetzt Du bitte wieder ...

Punkt 5) Klammerausdruck weiter vereinfachen
Punkt 6) Aus der Klammer den Faktor 2 rausziehen
Punkt 7) Durch 2 multiplizieren

Was hast Du jetzt ?

LG Mathe-Maus
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

HAMMER es funktioniert!!!!! Gott
Man was für ein Akt.

Ich habe nun aber zwei Werte raus a1=1,5 und a2=4,5

a1 ist der richtige (hab auch schon Probe gemacht) und a2 fällt ja weg, weil sonst die Wurzel nicht aufgeht.

Dankeschön

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Nöööö, hab was anderes raus ! verwirrt
a=1,5 kann es garnicht sein! Guck Dir mal die Funktion an - ist oben schmal und unten breiter !

Schreibe doch mal das Ergebnis zu Punkt 7) hier ins Board.

LG Mathe-Maus
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Och verdammt, hab mich schon so gefreut.

ich fang mal bei 5) an:



|:2















so und nun hab ich eben mit der Lösungsformel gerechnet, also

MfG Pascal
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnung:



|:2



Bis Punkt 7) Division durch 2 alles bestens ! Freude

Dein nächster Schritt: Ausmultiplizieren, auch okay.
Ich nehme an, danach hast Du quadriert ?
Auf der rechten Seite steht jedoch eine Summe und dann greifen die binomischen Formeln Big Laugh

Mach´s Dir doch einfach:

Deine Rechnung:


Komplett auusgeschrieben:


Jetzt quadrieren: (Die hoch 1 muss man nicht schreiben, hilft aber für den nächsten Schritt.)


Es gibt das wunderbare Potenzgesetz, welches jetzt zur Anwendung kommt.


Also zusammenfassen, dann die dritte Wurzel ziehen und nach a umstellen Augenzwinkern

LG Mathe-Maus
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhhh okay kommt dann raus:



was dann rund 1,1 ist

sieht auf jeden Fall schonmal besser aus.

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

In der Klammer sind die Zahlen umgedreht: also 1 minus 3.Wurzel !

Ergebnis bitte etwas genauer wegen der Probe: a=1,11 Freude

Hast prima und konsequent gearbeitet, großes LOB von mir Mit Zunge

Falls Du heute oder in den nächsten Tagen noch Kraft und Lust hast, diese Aufgabe mit einem anderen Ansatz
(etwa 10% einfacher und nicht Differenzfunktion) zu lösen, dann lass es mich wissen.

LG Mathe-Maus Wink
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein großes Dankeschön nochmal von mir. Gott

Und, Kraft hab ich noch allemal, aber wohl nicht heute, denn es gibt leider noch andere Fächer ausser Mathe, wo ich Aufgaben machen muss.

Also ich sag dann nochmal bescheid. Wink

MfG Kalle25
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

So, Woche geschafft! Prost

Wir haben jetzt auch in der Schule die Aufgaben durchgerechnet, aber einen anderen echenweg angewendet. ich wäre aber trotzdem noch an deiner Variante intersseirt Mathe-Maus.

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Pascal,
schön, dass Du Dich so interessierst Freude

Die Differenzfunktionen solltest Du immer im Hinterkopf behalten,
sind manchmal ungemein hilfreich, wie im Beispiel b).

Also kommen wir noch mal zu a) und einer anderen Lösungsvariante.

Stell Dir vor, die Funktion rutscht runter und der Flächeninhalt unter der Funktion
im I. Quadranten soll 1 sein.

Die Funktion lautet dann nicht
sondern

(h ist die Höhe auf der y-Achse.)

1) Berechne die Nullstellen.
2) Integriere die neue Funktion und setze als obere Grenze eine Nullstelle ein.
3) Der Rest wird genauso wie in den letzen Postings gerechnet.

Kommst Du damit klar?

LG Mathe-Maus Wink
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke,
hab es hin gekriegt.
Ich glaub nur, dass bei dir ein kleiner Fehler drin ist, denn mit



ging es nicht ganz auf.

Ich habe dann mit der Funktion



gerechnet und hatte die Lösung.

MfG Kalle25
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Pascal,

wenn Du mit rechnest, kommst Du auf h= 1,89.
Das heisst, um die Fläche 1 zu erhalten, muss h=1,89 sein.

Da die ursprüngliche Höhe 3 war, rechnest Du 3-1,89=1,11.
Damit hast Du g(f)=1,11.

Ist nur ein anderer Denkansatz, führt aber zu gleichen Ergebnissen.

Nochmal großes Lob für Deine Hartnäckigkeit Prost

LG Mathe-Maus Wink
Kalle25 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh achso ....
und ich dachte du hättest einen Fehler gemacht Hammer

Danke für die vielen Hilfen und den großen spaß gemacht den ich dabei hatte.

MfG Kalle25 Wink
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