Erwartungswert einer quadrierten Größe

03.06.2011, 01:16

Martin_123

Erwartungswert einer quadrierten Größe

Meine Frage:
Hallo!

Wenn man den Erwartungswert der Größe $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit Wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ berechnen möchte, macht man das ja wiefolgt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! x*P(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Allerdings brauchte ich nun für die Berechnung der Abweichung den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Den wollte ich zuerst so ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! x^{2}*P(x^{2}) \, dx \end{eqnarray*}$

Allerdings kam dabei das falsche Ergebnis raus, und ich habe nachgelesen dass man diesen Erwartungswert so berechnet:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! x^{2}*P(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt frage ich mich, warum? Wenn ich den Erwartungswert einer quadrierten Größe haben möchte, dann muss ich doch auch die Wahrscheinlichkeit benutzen, dass diese quadrierte Größe eintritt, und nicht die der unquadrierten Größe?

Ich habe dazu jetzt auch keine Erklärung im Internet gefunden, kann mir das jemand erklären?

03.06.2011, 07:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Martin_123
Den wollte ich zuerst so ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! x^{2}*P(x^{2}) \, dx \end{eqnarray*}$

Da spielt dir aber die Heuristik einen gewaltigen Streich, wenn du dies als "logisch" ansiehst. unglücklich

Versuch doch erstmal, für diskrete statt für stetige Zufallsgrößen die Erwartungswertformel für $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ aufzustellen, dann solltest du sehen, dass die andere Formel richtig und auch logisch ist.

Falls dich das nicht überzeugt, es geht auch streng maßtheoretisch. Weiß aber nicht, ob dir das besser gefallen wird. Augenzwinkern

03.06.2011, 07:51

Airblader

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Edit: Okay, das ist nun eher die von HAL_9000 angesprochene maßtheoretische Version Big Laugh

Ich kann jetzt nur vermuten, dass du mit 'Wahrscheinlichkeit' eigentlich die Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ (bzgl. des Lebesgue-Maßes) - wie sie üblicherweise bezeichnet wird - meinst. Die Identität folgt dann aus der Transformationsformel:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal A, P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $\begin{eqnarray*} (\Omega', \mathcal A') \end{eqnarray*}$ ein Messraum, $\begin{eqnarray*} X\colon \Omega \to \Omega' \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable und $\begin{eqnarray*} g\colon \Omega' \to [-\infty, \infty] \end{eqnarray*}$ messbar. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ -integrierbar.
$\begin{eqnarray*} g \circ X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ -integrierbar.

Ist eine der beiden Bedingungen (und damit beide) erfüllt, so gilt
$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega} g \circ X~\dd P = \int_{\Omega'} g~\dd P_X \end{eqnarray*}$

Es gilt dann nämlich mit $\begin{eqnarray*} g \equiv \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} g \circ X = X \end{eqnarray*}$ ist. Wegen $\begin{eqnarray*} \dd P = f \dd P_X \end{eqnarray*}$ und der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ bei uns das Lebesguemaß ist, gilt dann

$\begin{eqnarray*} \mathbb E (X) = \int X~\dd P = \int \operatorname{id} \circ X~\dd P = \int_{\mathbb R} x \cdot f(x)~\dd P_X = \int_{\mathbb R} x \cdot f(x)~\dd x \end{eqnarray*}$

Für das zweite Moment gilt dann mit $\begin{eqnarray*} g \equiv \operatorname{id}^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mathbb E (X^2) = \int X^2~\dd P = \int \operatorname{id}^2 \circ X~\dd P = \int_{\mathbb R} x^2 \cdot f(x)~\dd x \end{eqnarray*}$

03.06.2011, 08:02

HAL 9000

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Da sind eine paar Ungereimtheiten in deinem Beitrag, mit denen ich nicht einverstanden bin. Genau genommen spielt der (Maß-)Transformationssatz (T) hier eine gewisse Rolle, nach dem ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Omega} g(X(\omega)) ~ \dd P(\omega) \stackrel{(T)}{=} \int\limits_{\mathbb{R}} g(x) ~ \dd P_X(x) \stackrel{(R)}{=} \int\limits_{\mathbb{R}} g(x)f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

wobei letztere Umformung (R) nur für stetige Zufallsgrößen mit dann existenter Radon-Nikodym-Dichte $\begin{eqnarray*} f_X = \frac{\dd P_X}{\dd x} \end{eqnarray*}$ gilt.

Kurz gesagt: Dein $\begin{eqnarray*} f(x) \dd P_X \end{eqnarray*}$ ist "doppelt gemoppelt" und damit falsch.

EDIT: Ok, wenn ich es recht bedenke, dann ist es nur diese eine Stelle. Die weggestrichen sollte alles in Ordnung sein. Augenzwinkern

03.06.2011, 08:12

Airblader

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Hast natürlich recht, Danke Freude

air

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