Matrix und Adjungierte; Eigenvektoren

03.06.2011, 09:58

Heike

Matrix und Adjungierte; Eigenvektoren

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb C^{nxn} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

1) Ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ normal und v ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , so ist v auch Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} A^* \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \bar \lambda \end{eqnarray*}$ .

2) Ist A normal, so haben verschiedene Eigenwerte orthogonale Eigenvektoren.

Meine Ideen:
zu 1)
Ich weiß, dass für normale Matrizen gilt: $\begin{eqnarray*} A \cdot A^* = A^* \cdot A \end{eqnarray*}$
Und für die Eigenvektoren gilt: $\begin{eqnarray*} A \cdot v = \lambda \cdot v \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} A^* \cdot \tilde v = \bar \lambda \cdot \tilde v \end{eqnarray*}$
Jetzt denke ich, dass ich mit der Definition von normalen Matrizen irgendwie zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} \tilde v = v \end{eqnarray*}$ . Allerdings habe ich keinen Ansatz, wie das gehen soll...

zu 2) weiß ich, dass für orthogonale Vektoren v1, v2 gilt: $\begin{eqnarray*} < v1,v2> = 0 \end{eqnarray*}$
Eventuell helfen hier dann auch die ergebnisse von 1) weiter.

Vielen Dank für Eure Hilfe!

03.06.2011, 17:45

steviehawk

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RE: Matrix und Adjungierte; Eigenvektoren
Hallo Heike,

hast du für die Aufgabe a) des Blattes ebenfalls die komplexe Matrix A als Dreiecksmatrix definiert?, denn über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ zerfällt das char. Polynom ja immer in Lin.faktoren, woraus ja folgt, dass A zu einer Dreiecksmatrix ähnlich ist. Dann kann man das mit den Eigenwerte in a) ja schön zeigen!

Grüße stevie

03.06.2011, 17:56

Heike

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RE: Matrix und Adjungierte; Eigenvektoren
Hallo Stevie,

Zur Info für alle:
Der Aufgabenteil a) lautet: $\begin{eqnarray*} \lambda \in eig(A) \Leftrightarrow \bar \lambda \in eig(A^*) \end{eqnarray*}$ .

Wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, ist A zu einer Diagonalmatirx ähnlich. Dann kann man sich $\begin{eqnarray*} A^* \end{eqnarray*}$ mit den Rechenregeln für die Adjungierte anschauen...

03.06.2011, 17:59

tigerbine

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RE: Matrix und Adjungierte; Eigenvektoren

Zitat:

Original von Heike
Wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, ist A zu einer Diagonalmatirx ähnlich.

Das ist so nicht korrekt. Die Linearfaktoren müssen dazu z.B. paarweise verschieden sein. Alternativ müssen die alg. und geom. Vielfachheiten übereinstimmen.

03.06.2011, 18:09

Heike

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RE: Matrix und Adjungierte; Eigenvektoren
Stimmt...
Da hab ich wohl Mist gemacht. A ist nur zu einer Dreiecksmatrix ähnlich...
Aber zeigen kann man es trotzdem auf dem gleichen Weg, denke ich.

Gruß Heike

03.06.2011, 18:13

steviehawk

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RE: Matrix und Adjungierte; Eigenvektoren
Also für den Aufgabenteil a) reicht es mir ja wenn ich A auf Dreiecksform bringen kann, denn dann stehen die Eigenwerte ja auf der Diagonalen, und mit den passiert beim Transponieren nichts...

und jetzt habe ich auch gelesen, dass hermitische Matrizen also Matrizen für die gilt: $\begin{eqnarray*} A = A^* \end{eqnarray*}$ immer diagonalisierbar sind...

Was für den Teil b1) hilft:

b1) $\begin{eqnarray*} A = A^* \Rightarrow eig(A) \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$

b2) $\begin{eqnarray*} A + A^* = 0 (schiefhermitsch) \Rightarrow eig(A) \subset i\mathbb R \end{eqnarray*}$ hier kann ich ja auch wider von einer Diagonalmatrix A ausgehen, da schiefhermitisch

03.06.2011, 19:50

steviehawk

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RE: Matrix und Adjungierte; Eigenvektoren
Ich hätte noch ne Idee:

Also da die Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb C^{nxn} \end{eqnarray*}$ normal ist, ist sie unitär diagonalisierbar. Das heißt es gibt eine Matrix D in Diagonalform, welche zu A ähnlich ist.

Sei also A absofort: $\begin{eqnarray*} A = diag(\lambda_1,..., \lambda_n) \end{eqnarray*}$ , dann ist A nicht nur ähnlich zu seiner Transponierten sonder sogar gleich: $\begin{eqnarray*} A = A^T \end{eqnarray*}$

So dann haben ja $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ die gleichen Eigenwerte, also $\begin{eqnarray*} \lambda_j \in eig(A); \lambda_j eig(A^T); \forall j=1,...,n \end{eqnarray*}$

so dann hat $\begin{eqnarray*} \overline{A}^T = A^* \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \overline{\lambda} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt müsste ich nur noch zeigen, dass der Eigenvektor v der gleiche bleibt!

Aber die Kommutativität, die ja auch insbesondere aus der Normalität folgt hätte ich irgendwie nicht benutz...

05.06.2011, 14:48

steviehawk

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RE: Matrix und Adjungierte; Eigenvektoren
Also zu:

A ist normal, dann sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal!

Sei A also normal, dann ist A unitär diagonalisierbar und es gibt eine Diagonalgestalt von A die ich D nenne;

Dann ist D da diagonal auch symmetrisch, dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1^T v_2 = (Av_1)^T v_2 = v_1^T A^T v_2 = v_1^T (Av_2) = v_1^T \lambda_2 v_2 = \lambda_2 v_1^T v_2 \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1^T v_2 = \lambda_2 v_1^T v_2 \end{eqnarray*}$ und:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1^T v_2 - \lambda_2 v_1^T v_2 = 0 \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 - \lambda_2) v_1^T v_2 = 0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 - \lambda_2) \neq 0 \end{eqnarray*}$ muss also $\begin{eqnarray*} v_1^T v_2 = 0 \end{eqnarray*}$

also sind die Eigenvektoren orthogonal!!!

passt das so?? Kann ich einfach $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb C^{nxn} \end{eqnarray*}$ also diagonal Vorrausetzen, wenn A normal ist??? Und dann mit einer symmetrischen Matrix arbeiten?

Danke für die Tipps

05.06.2011, 15:13

steviehawk

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RE: Matrix und Adjungierte; Eigenvektoren
für den Aufgabenteil 1) bezogen auf den Eröffnungsbeitrag, kann man ganz ähnlich argumentieren wie für 2)

05.06.2011, 16:35

stha2

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Der Beweis funktionier so nicht, da ähnliche Matrizen zwar die gleichen Eigenwerte, aber nicht die gleichen Eigenvektoren haben

05.06.2011, 16:52

steviehawk

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wo habe ich hier was von ähnlichen Matrizen gesagt?

06.06.2011, 09:58

Stha2

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Die Matrix D ist nicht A sondern nur zu dieser ähnlich.

06.06.2011, 11:01

steviehawk

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hast du dann vielleicht einen Tipp?

Wie kann ich den dann mit der Normalität der Matrix A argumentieren?

Ich weiß ja nur, dass $\begin{eqnarray*} A \cdot A^* = A^* \cdot A \end{eqnarray*}$

Danke für die Hilfe!!!

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