Beweis Supremum offenes Intervall

03.06.2011, 15:00

Pascal95

Beweis Supremum offenes Intervall

Hallo,

wie kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sup \ [a,x)=x \end{eqnarray*}$ ist?
$\begin{eqnarray*} a,x\in \mathbb R, \ \ x>a \end{eqnarray*}$

Eigentlich ist es ja offensichtlich, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die "kleinste obere Schranke" ist, und es ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Intervall nicht enthalten.

Man kann für $\begin{eqnarray*} [a,x) \end{eqnarray*}$ auch schreiben: $\begin{eqnarray*} \{ i\in \mathbb R \ | \ a\leq i <x \} \end{eqnarray*}$ .

Dies könnte man nun mit der Definition des Supremums vergleichen und man sieht, dass tatsächlich das Supremum $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist (?)

Aber reicht das so?

Vielen Dank!

03.06.2011, 15:12

tmo

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Der Beweis verläuft in 2 Schritten:

1. Man zeigt, dass x obere Schranke ist. D.h. man wählt sich ein Element aus der Menge und zeigt, dass es kleiner als x ist.

2. Man zeigt, dass x kleinste obere Schranke ist. Dazu wählt man eine Zahl y<x und gibt dann eine Zahl an, die größer ist als y, aber noch in der Menge liegt.

Damit ist gezeigt, dass dieses y keine obere Schranke ist. Und da es bzgl. der Bedingung y<x beliebig war, folgt die Behauptung.

03.06.2011, 15:19

Pascal95

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Ok, danke für die Antwort.

zu 1)

Zitat:

1. Man zeigt, dass x obere Schranke ist. D.h. man wählt sich ein Element aus der Menge und zeigt, dass es kleiner als x ist.

Das müsste durch die Mengendefinition $\begin{eqnarray*} [a,x) := \{ i\in \mathbb R \ | \ a\leq i <x \} \end{eqnarray*}$ eigentlich schon geschehen sein. (?)

03.06.2011, 15:29

tmo

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Ja eigentlich schon. Man kann zur Klärung sowas wie: "Sei $\begin{eqnarray*} u \in [a,x) \end{eqnarray*}$ . Dann ist nach Definition dieser Menge $\begin{eqnarray*} u < x \end{eqnarray*}$ , also ist x obere Schranke." schreiben.

Das ist ja quasi so elementar, dass eigentlich gar nicht viel zu zeigen ist. Deswegen tut man sich ja so schwer damit, es zu beweisen. So Sachen wie "Offensichtlich ist x obere Schranke" gehen halt erst, wenn man mal im 2. Semester angekommen ist.

Aber wenn es für dich offensichtlich ist, dann ist es vollkommen ok. Zumal du das ja (schließe ich jetzt aus deinem Alter) wahrscheinlich für dich selbst machst und nicht für andere.

03.06.2011, 15:32

Pascal95

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Zitat:

Aber wenn es für dich offensichtlich ist, dann ist es vollkommen ok. Zumal du das ja (schließe ich jetzt aus deinem Alter) wahrscheinlich für dich selbst machst und nicht für andere.

Das hast du völlig richtig bemerkt. smile

zu 2)

Zitat:

2. Man zeigt, dass x kleinste obere Schranke ist. Dazu wählt man eine Zahl y<x und gibt dann eine Zahl an, die größer ist als y, aber noch in der Menge liegt.

Dann müsste $\begin{eqnarray*} \frac{y+x}{2} > y \end{eqnarray*}$ doch noch in der Menge liegen und damit ist gezeigt, dass es eine größere Schranke als $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gibt (?)

03.06.2011, 15:36

tmo

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Zitat:

Original von Pascal95

Dann müsste $\begin{eqnarray*} \frac{y+x}{2} > y \end{eqnarray*}$ doch noch in der Menge liegen und damit ist gezeigt, dass es eine größere Schranke als $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gibt (?)

Zum grünen: Das ist genau richtig. Wenn man es genau nimmt, müsste man eigentlich $\begin{eqnarray*} \max \{a,\frac{y+x}{2} \} \end{eqnarray*}$ nehmen, denn sonst könnte ja y sogar so klein sein, dass der Mittelwert von x und y gar nicht mehr in der Menge liegt.

Zum Roten: Das ist nicht ganz richtig. Damit ist gezeigt, dass y keine obere Schranke ist. Und weil y irgendeine Zahl kleiner als x war, ist x also die kleinste obere Schranke.

03.06.2011, 15:44

Pascal95

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Aha, jetzt ist es klar.

Aber wie zeigt man, dass $\begin{eqnarray*} \frac{y+x}{2} \end{eqnarray*}$ in dem Intervall liegt?

Man hat ja nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ obere Schranke ist und man hat ein $\begin{eqnarray*} y<x \end{eqnarray*}$ gewählt.

Aber $\begin{eqnarray*} x+10 \end{eqnarray*}$ ist ja auch obere Schranke und dann würde nicht einfach gelten, dass $\begin{eqnarray*} \frac{y+x}{2} \end{eqnarray*}$ noch im Intervall liegt. (es wäre zu groß, wenn man y nur groß genug wählt)

03.06.2011, 15:54

tmo

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Zitat:

Original von Pascal95
Aber wie zeigt man, dass $\begin{eqnarray*} \frac{y+x}{2} \end{eqnarray*}$ in dem Intervall liegt?

Dazu sind doch auch nur 2 Dinge zu zeigen:

1. $\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{2} \geq a \end{eqnarray*}$ (Was klar ist, wenn wir noch das Maximum von dieser Zahl und a nehmen)

2. $\begin{eqnarray*} \frac{y+x}{2} < x \end{eqnarray*}$ (Was eigentlich auch klar ist, weil y<x)

Und x+10 interessiert uns gar nicht, denn das ist doch nur eine größere Schranke als x. Dass es solche gibt ist ja klar. Schließlich sind die reellen Zahlen unbeschränkt.

03.06.2011, 16:01

Pascal95

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Aha, danke Idee!

Jetzt aber sollte alles klar sein.

Man wählt also $\begin{eqnarray*} \max \left\{ a, \frac{y+x}{2} \right\} \end{eqnarray*}$ und es ist in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,x) \end{eqnarray*}$ , weil es mindestens $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist durch die Verwendung des Maximums und auch kleiner als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} y<x \end{eqnarray*}$ und so der Mittelwert auch kleiner als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist.

So ist also tatsächlich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die kleinste obere Schranke, weil es obere Schranke ist und jedes $\begin{eqnarray*} y<x \end{eqnarray*}$ nicht obere Schranke ist, weil man dann immer noch ein $\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$ finden könnte, dass größer als die vermeintlich "größte" obere Schranke ist und auch noch im Intervall enthalten ist und somit ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ keine obere Schranke.

Vielen Dank für deine Hilfe.

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