Gruppe und Untergruppe

12.12.2006, 17:47

YayDi

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Gruppe und Untergruppe

Mojn

Sei K ein Körper:
a) Zeigen Sie, dass die Menge G der affinen Transformationen
$\begin{eqnarray*} f_{a,b} : K \rightarrow K, x \rightarrow ax+b \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} a,b \in K,a \not=0 \end{eqnarray*}$ zusammen mit der Komposition von Abbildungen \circ eine Gruppe ist.

b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} H_1 := \{f_{1,b}|b \in K\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_2 := \{f_{a,0}|a \in K,a \not= 0\} \end{eqnarray*}$ Untergruppen von G sind.

Bei Aufgabe a habe ich jetzt erst einmal gesagt, ich habe quasi zwei Geraden

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax+b \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} g(x) = a_2 x + b_2 \end{eqnarray*}$

Nun verknüpfe ich die miteinander
$\begin{eqnarray*} f(x) \circ g(x) = (ax+b)\circ (a_2 x + b_2) = a (a_2 x + b_2) + b = a*a_2*x+a*b_2 + b \end{eqnarray*}$

Und das soll jetzt eine Gruppe sein, da gilt ja

1. $\begin{eqnarray*} (a*b)*c = (a*b)*c \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} e*a=a \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} a_{invers}*a=e \end{eqnarray*}$

Welch ein Chaos. Jetzt soll ich diese drei Axiome auf $\begin{eqnarray*} a*a_2*x+a*b_2 + b \end{eqnarray*}$ anwenden? Kann mir da jemand helfen, ich habe keine Ahnung, wie das gehen soll.
Kann mir da jemand mal das erste Axiom vorrechnen?

Und nebenbei einen kleinen Tipp für B reichen?
Die Kriterien für eine Untergruppe sind mir bekannt, aber was bedeutet denn $\begin{eqnarray*} f_{1,b} \end{eqnarray*}$ ? Dass wir für a eins einsetzen?

Obwohl...muss ich nur stumpf die Untergruppenkriterien anwenden – weil da steht ja etwas von, dass das eine Untergruppe von G ist. Da wüsste ich nicht, wie ich bei den zwei Axiomen für die Untergruppe die Gruppe G mit ins Spiel bringe

12.12.2006, 18:09

Mathespezialschüler

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Du nimmst dir drei solcher Tarnsformationen:

$\begin{eqnarray*} g_1(x)=a_1x+b_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2(x)=a_2x+b_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_3(x)=a_3x+b_3 \end{eqnarray*}$ ,

rechnest $\begin{eqnarray*} (g_1\circ g_2)\circ g_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_1\circ (g_2\circ g_3) \end{eqnarray*}$ aus und guckst, ob dasselbe rauskommt. Wenn du schon weißt, dass die Verknüpfung von Funktionen assoziativ ist, dann brauchst du das natürlich nicht mehr nachweisen.

Zitat:

Original von YayDi
Und nebenbei einen kleinen Tipp für B reichen?
Die Kriterien für eine Untergruppe sind mir bekannt, aber was bedeutet denn $\begin{eqnarray*} f_{1,b} \end{eqnarray*}$ ? Dass wir für a eins einsetzen?

Ja, genau. Und dann, wie du gesagt hast, einfach nur die Unterraumkriterien anwenden.

Gruß MSS

13.12.2006, 18:17

YayDi

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Hallo.

3. $\begin{eqnarray*} a_{invers}*a=e \end{eqnarray*}$

Wie mache ich das denn?

$\begin{eqnarray*} g_1(x)=a_1x+b_1 \end{eqnarray*}$

Soll ich nun sagen:

$\begin{eqnarray*} g_1(x)^1 \circ (g_1(x))^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$

Oder wie genau geht das mit dem Inversen?

13.12.2006, 18:53

Mathespezialschüler

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So wie du es aus der Schule kennst, wird das wahrscheinlich die Umkehrfunktion sein ...

Gruß MSS

13.12.2006, 18:57

YayDi

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Hi.

Aber, das dachte ich auch...nur Die Umkerhfunktion von $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2*\sqrt{x}=x^{2.5} \end{eqnarray*}$

Sollte da nicht 1 herauskommen?

13.12.2006, 18:58

Mathespezialschüler

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Du sollst sie ja auch nicht multiplizieren, sondern hintereinander ausführen. Und nein, da sollte nicht $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ rauskommen. Das neutrale Element der Verknüpfung von Funktionen ist die Identität.

Gruß MSS

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13.12.2006, 19:04

YayDi

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Also im Falle von $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

f(x) \circ f^{-1}(x) = x^2 \circ \

13.12.2006, 19:05

YayDi

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Also im Falle von $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) \circ f^{-1}(x) = x^2 \circ \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x \end{eqnarray*}$

So?

Und Die Umkerhfunktion von

y=ax+b ist

$\begin{eqnarray*} \frac{y-b}{a} = x \end{eqnarray*}$

Tauschen von y und x

$\begin{eqnarray*} \frac{x-b}{a} = y \end{eqnarray*}$

Ja?

13.12.2006, 19:19

Mathespezialschüler

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Ja, musst natürlich noch zeigen, dass das auch wirklich das Inverse in dieser Struktur ist.

Gruß MSS

13.12.2006, 20:53

YayDi

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Bei den Gruppenkriterien habe ich da jetzt aber etwas falsches heraus traurig

traurig

Es soll ja gelten

$\begin{eqnarray*} (g_1\circ g_2)\circ g_3 = g_1\circ (g_2\circ g_3) \end{eqnarray*}$

Ich rechne einfach mal

$\begin{eqnarray*} ((a_1x+b_1)\circ(a_2x+b_2))\circ(a_3x+b_3)=(a_1x+b_1)\circ((a_2x+ b_2 )\circ(a_3x+b_3)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a_1(a_2x+b_2)+b_1)\circ(a_3x+b_3) = (a_1x+b_1) \circ a_2(a_3x+b_3)+b_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a_1a_2x+a_1b_2+b_1)\circ(a_3x+b_3) = (a_1x+b_1) \circ(a_2a_3x+a_2b_3+b_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1a_2(a_3x+b_3)+a_1b_2+b_1) =a_2a_3(a_1x+b_1)+a_2b_3+b_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1a_2a_3x+a_1a_2b_3+a_1b_2+b_1 =a_2a_3a_1x+a_2a_3b_1+a_2b_3+b_2 \end{eqnarray*}$

Irgendwo ist ein dummer Fehler!

13.12.2006, 21:02

YayDi

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Achso, ich muss da auch gleich eine Frage hinterher werfen.

Bei dem dritten Kriterium mit dem Inversen bekommt man ja die Identität x heraus.
Was aber hier:
2. $\begin{eqnarray*} e*a=a \end{eqnarray*}$

Hier kann e ja nur gleich 1 sein.

Kann man das dann so machen:

$\begin{eqnarray*} e=\frac{a}{a} \end{eqnarray*}$

Dann schön brav einsetzen und gucken, ob 1 herauskommt?!

13.12.2006, 21:16

Mathespezialschüler

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Nein, so kannst du das nicht machen. Und da kommt auch nicht $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ raus, da kommt immer noch die Identität raus! Es geht nicht um die Multiplikation, sondern um die Verknüpfung!
Oben hast du

$\begin{eqnarray*} (a_1x+b_1)\circ (a_2a_3x+a_2b_3+b_2)=a_2a_3(a_1x+b_1)+a_2b_3+b_2 \end{eqnarray*}$

geschrieben. Guck dir das nochmal genauer an.

Gruß MSS

13.12.2006, 21:23

YayDi

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Acso, ja das ist in der Tat ein dummer Fehler.

Aber noch einmal zu: 2. $\begin{eqnarray*} e*a=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e \cdot g_1=g_1 \end{eqnarray*}$

und jetzt folger ich einfach, dass e = x ist. Oder geht das auch rechnerisch?

Weil

$\begin{eqnarray*} x \cdot g_1=g_1 \end{eqnarray*}$

(sehe ich auch ein)

13.12.2006, 21:29

Mathespezialschüler

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Schreibe lieber durchgängig $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ , dann läufst du auch nicht Gefahr, das zu verwechseln.
Naja, eigentlich weiß man ja schon vorher, dass die Identität diese Eigenschaft hat. Dann weist du einfach nach, dass das wirklich gilt, und damit hast du dann dein neutrales Element. Wenn du es bereits kennst, musst du es nicht nochmal herleiten.

Gruß MSS

13.12.2006, 21:44

YayDi

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Also bei b)
$\begin{eqnarray*} f_{a,b} : K \rightarrow K, x \rightarrow ax+b \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} a,b \in K,a \not=0 \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} H_1 := \{f_{1,b}|b \in K\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_2 := \{f_{a,0}|a \in K,a \not= 0\} \end{eqnarray*}$ Untergruppen von G sind.

Das Kriterium für eine Untergruppe ist ja nur:
$\begin{eqnarray*} (a\cdot b)\cdotc = a\cdot (b \cdot c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{1,b} = 1x+b \end{eqnarray*}$

Und jetzt stelle ich wieder drei Funktionen

$\begin{eqnarray*} f_{1,b} = 1x+b_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_{1,b} = 1x+b_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_{1,b} = 1x+b_3 \end{eqnarray*}$

Und rechne das Kriterium

$\begin{eqnarray*} (a\cdot b)\cdotc = a\cdot (b \cdot c) \end{eqnarray*}$

einfach durch?

Und für H_2:= $\begin{eqnarray*} f_{a,0} = ax \end{eqnarray*}$

Da definiere ich dann auch wieder drie Funktionen

$\begin{eqnarray*} z_1 = a_1x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2 = a_2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_3 = a_3x \end{eqnarray*}$

ODer ist das wieder falsch?

13.12.2006, 21:46

YayDi

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(Vorschau vergessen)

Das Kriterium sollte lediglich sein

$\begin{eqnarray*} (a\circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \end{eqnarray*}$

13.12.2006, 21:58

Mathespezialschüler

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Nein, das Kriterium für Untergruppen ist doch folgendes: $\begin{eqnarray*} H\subset G \end{eqnarray*}$ heißt Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , falls gilt:

$\begin{eqnarray*} &(1)&\quad H\neq \varnothing \\ &(2)&\quad a,b\in H\Rightarrow a\circ b\in H \\ &(3)&\quad a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H \end{eqnarray*}$ .

Das musst du jetzt nachweisen.

Gruß MSS

13.12.2006, 22:07

YayDi

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Hallo.

$\begin{eqnarray*} (1)\quad H\neq \varnothing \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H = x+b \neq \varnothing \end{eqnarray*}$

Ist das so schon erfüllt oder muss man da noch mehr zeigen?

$\begin{eqnarray*} (2)\quad a,b\in H\Rightarrow a\circ b\in H \end{eqnarray*}$

Wieder mit meinen zwei Funktionen

$\begin{eqnarray*} (x+b_1) \ circ (x+b_2) = x+b_2+b_1 = x+b_1+b_2 \end{eqnarray*}$

Wie kann man nun zeigen, dass das in H liegt?

$\begin{eqnarray*} (3)\quad a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H. \end{eqnarray*}$

Selbe Problem hier

Also $\begin{eqnarray*} a = x+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{-1} = x-b \end{eqnarray*}$

Also a liegt in H, weil H = a ist.

13.12.2006, 22:11

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} H=x+b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} H=a \end{eqnarray*}$ sind keine sinnvollen Gleichungen! Was soll das bedeuten? Du musst zeigen, dass es mind. ein Element in $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ gibt. Nimm z.B. einfach das neutrale Element.
Du hast schon richtig $\begin{eqnarray*} (x+b_1)\circ (x+b_2)=x+b_1+b_2 \end{eqnarray*}$ geschrieben. Jetzt sollst du zeigen, dass das wieder in $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ liegt. Schau dir doch mal die Definition von $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ an! Da sieht man es doch wunderbar. Genauso bei $\begin{eqnarray*} (3) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

13.12.2006, 22:18

YayDi

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Also ich sehe bei der Definition nichts:

$\begin{eqnarray*} H_1 := \{f_{1,b}:K \rightarrow K, x \rightarrow x+b \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} b \in K|b \in K\} \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich denn, dass das neutrale Element X in H liegt?

13.12.2006, 22:54

Mathespezialschüler

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Naja, es gilt:

$\begin{eqnarray*} x=x+0=f_{1,0}(x) \end{eqnarray*}$ .

Und da $\begin{eqnarray*} f_{1,0} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ liegt, ...

Gruß MSS

14.12.2006, 02:35

YayDi

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Zu Kriterium 2:

$\begin{eqnarray*} (x+b_1)\circ (x+b_2)=x+b_1+b_2 \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich da jetzt, dass es in $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ liegt? Ich meine, ich kann nicht einfach für $\begin{eqnarray*} b_1 und b_2 \end{eqnarray*}$ Null einsetzen, oder?
Geht dann $\begin{eqnarray*} b_1 = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_2 = -1 \end{eqnarray*}$ ?

Dann bliebe aber die Frage, was bei dem zweiten Fall bei $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ wäre.

Da habe ich dann $\begin{eqnarray*} a_1a_2x \end{eqnarray*}$

Was sollte man da einsetzen? $\begin{eqnarray*} a_1 = a_2 = 1 \end{eqnarray*}$ ?

14.12.2006, 21:57

Mathespezialschüler

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Du sollst gar nichts einsetzen. $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ ist doch die Menge aller Funktionen $\begin{eqnarray*} f_{1,b} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} (x+b_1)\circ (x+b_2)=x+b_1+b_2=x+(b_1+b_2)=f_{1,b_1+b_2} \end{eqnarray*}$ .

Und da $\begin{eqnarray*} b_1+b_2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, liegt das in $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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