Gauß'sches Eliminationsverfahren

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03.06.2011, 16:53	mi1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß'sches Eliminationsverfahren Meine Frage: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray} <br /> -a + 3b + 4c - d = 9<br /> a + 2b - d = 1<br /> b + 2c = 2<br /> -a + c = 3<br /> 3b + 3c - d = 6<br /> \end{eqnarray}$ was ist der Rang, welche sind die frei wählbaren Parameter, und die Lösung? unten findet ihr meinen Lösungsvorschlag, könnte das jemand prüfen und ggf. erklären was falsch ist Meine Ideen: hier sind meine Rechenschritte: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}\begin{array}{cccc\|c}<br /> -1 & 3 & 4 & -1 & 9 \\<br /> 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\<br /> 0 & 1 & 2 & 0 & 2 \\<br /> -1 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ <br /> 0 & 3 & 3 & -1 & 6 \end{array} \end{pmatrix}<br /> <br /> \begin{pmatrix}\begin{array}{cccc\|c}<br /> 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\<br /> 0 & 5 & 4 & -2 & 10 \\<br /> 0 & 1 & 2 & 0 & 2 \\<br /> 0 & 2 & 1 & -1 & 4 \\ <br /> 0 & 0 & -3 & -1 & 0 \end{array} \end{pmatrix}<br /> <br /> \begin{pmatrix}\begin{array}{cccc\|c}<br /> 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\<br /> 0 & 5 & 4 & -2 & 10 \\<br /> 0 & 0 & 6 & -2 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ somit bekomm ich für die Lösung: d = 3c c = 2,5b -5 a = 0,5b + 6 der Rang wäre meiner Meinung nach 3, begründen kann ichs nicht so gut bzw. wäre um eure Begründung dankbar. wenn Rg=3 dann freiwählbarer Par = 1, in dem Fall wäre b ein frei wählbarer Parameter. (man könnte aber eine andere Variable als wählbar annehmen)
03.06.2011, 18:03	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast einen kleinen Vorzeichenfehler in der dritten Zeile der letzten Matrix. Richtig wäre 0 0 6 2 \| 0
03.06.2011, 18:34	mi1986	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, hab's grad gesehen weil: 0x5 - (-2) = +2 wenn ich das nun umforme, müsste dass nun so hinkommen, oder? dh. d=-3c b=2-2c a=c-5
03.06.2011, 18:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Neuer Rechenfehler: a=c-3 Ansonsten stimmt es. Bzgl. Rang: Lies noch mal nach, wie der Rang definiert ist, dann sollte recht schnell klar sein, wieso der Rang der Matrix drei ist.
03.06.2011, 19:18	mi1986	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. danke. fehler nun nachvollziehbar.
03.06.2011, 19:49	mi1986	Auf diesen Beitrag antworten »
wie soll ich die Lösungsmenge richtig anschreiben? ich würde dies nun so machen: $\begin{eqnarray} <br /> L=\left\{ (a, b, c, d) a=c-3, b=2-2c, c\in R, d=-3c\right\}<br /> \end{eqnarray}$ den Rang würd ich wie folgt beschreiben: Rang=3, weil es drei Gleichungen gibt die zueinander nicht linear abhängig sind. wie würdest du diese interpretation beurteilen?
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04.06.2011, 01:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösungsmenge kann man so darstellen, allerdings ist die Darstellung als Gerade eleganter. Zerlege hierzu den Lösungsvektor in einen konstanten Teil und einen Teil, der den Faktor c enthält. Die Rang-Begründung ist ok, allerdings spricht der Mathematiker nicht von "nicht linear abhängig", sondern linear unabhängig
04.06.2011, 13:28	mi1986	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke! aber ich versteh nicht wirklich wie du das einst mit der lösung. könntest du es evtl. anschreiben? danke
04.06.2011, 15:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> L=\left\{ (a, b, c, d) \| a=c-3, b=2-2c, c\in \mathbb R, d=-3c\right\}=\left\{(c-3,2-2c,c,-3c)\|c\in\mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left\{(-3,2,0,0)+c(1,-2,1,-3)\|c \in \mathbb R\right\}<br /> \end{eqnarray}$
04.06.2011, 17:50	mi1986	Auf diesen Beitrag antworten »
ich werd noch ein bisschen benötigen um diese schreibweise zu checken, aber dennoch vielen dank für deine großartige hilfe!!!!

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