partielle Ableitung bilden

04.06.2011, 15:00	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
partielle Ableitung bilden Guten Tag, ich brauche mal Hilfe mit der Bildung der partiellen Ableitung strikt nach folgender Vorschrift: [attach]19937[/attach] $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ ist der Punkt an dem differenziert werden soll. Weiterhin ist $\begin{eqnarray} e_{j} \end{eqnarray}$ der kanonische Basisvektor der j-ten Komponente. Vielleicht kann mir jemand bei folgendem Beispiel einfach helfen: $\begin{eqnarray} f(x, y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray}$ Ich möchte diese Funktion jetzt mit der Def von oben in $\begin{eqnarray} x_{0} = 2 \end{eqnarray}$ differenzieren. D.h. also: Zunächst nach x: $\begin{eqnarray} e_{1} = (1, 0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0}\frac {f(2+he_{1})-f(2)} {h} \end{eqnarray*}$ Jetzt muss ich den Grenzwert gegen 0 bilden, d.h. ich muss den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert berechnen?
04.06.2011, 15:22	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo allahahbarpingok, das kriegen wir hin. Deine Definition ist richtig, aber du hast nur einen festen x-Wert angegeben, was ist mit $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ ? Oder möchtest du die partielle Ableitung in jedem beliebigen y-Wert bestimmen? Der Grenzwert stimmt deswegen auch so nicht, da f(2) für $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray}$ keinen Sinn ergibt. In der Definition ist $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ , bei dir aber $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Wir brauchen einen zweidimensionalen Punkt.
04.06.2011, 15:30	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, da habe ich wohl was durcheinander gebracht: Der Punkt sei (2, 3), also $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ = 2 und $\begin{eqnarray} y_{0} \end{eqnarray}$ = 3
04.06.2011, 15:33	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön, dann setzt mal strikt ein und vereinfache so weit wie möglich. Das $\begin{eqnarray} f(x_0 + h \cdot e_1) \end{eqnarray}$ entspricht dann $\begin{eqnarray} f((2,3) + h \cdot (1,0)) = f((2+h, 3)) \end{eqnarray}$ .
04.06.2011, 15:57	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Eingesetzt: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac {f((2+h, 3))-13} {h} \end{eqnarray}$ Jetzt würde, wie schon gesagt den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bertrachten.
04.06.2011, 16:44	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich jetzt mal dran versucht: Definiere 2 Folgen: Eine, die von links gegen 0 läuft und eine, die von rechts gegen 0 läuft. $\begin{eqnarray} a_{n} = 1/n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{n} = -1/n \end{eqnarray}$ Substituiere h, jeweils mit einer der beiden Folgen und schaue Grenzwert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ an. 1. $\begin{eqnarray} f((2+h, 3)) = 13 + 4h + h^2 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac {13+4h+h^2-13} {h} = \frac {4h+h^2} {h} = 4 + h \end{eqnarray}$ Einsetzen der Folgen: für $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} 4 + 1/n = 4 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} 4 - 1/n = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Grenzwert existiert Der Funktionswert der 1. partiellen Ableitung nach x ist also 4. Prüfen: Ableiten, indem andere Variablen ausgeblendet werden ergibt: partielle Ableitung nach x: $\begin{eqnarray} 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ einsetzen ergibt: 4. edit: Habs verstanden, Danke
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04.06.2011, 20:27	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dass du das richtige Ergebnis raushast. Aber das mit den links- bzw- rechtsseitigen GW brauchst du nicht. Du hast jetzt gezeigt, dass das für zwei spezielle Folgen klappt. Es muss aber für jeden Nullfolge gelten. Gilt es aber, denn 4 + Nullfolge konvergiert immer gegen 4.

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