Mengengleichheit beweisen

04.06.2011, 16:35

Mathenoobika

Mengengleichheit beweisen

Hallo zusammen,

mal wieder ich :-(

Die Klausur steht in einem Monat an und ich bin momentan ein wenig am Verzweifeln

Ich soll beweisen, dass die Menge A = {a} und die Menge B = {a,a} gleich sind. Aber wie komme ich da weiter?

Mein Ansatz wäre es ja zu zeigen, das A Element von B ist und dann das B Element von A ist. Aber wie zeige ich das B Element von a ist?

Danke im voraus

Mathenoobika

04.06.2011, 20:03

Abakus

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RE: Mengengleichheit beweisen

Zitat:

Original von Mathenoobika
Mein Ansatz wäre es ja zu zeigen, das A Element von B ist und dann das B Element von A ist.

Hallo,

das ist nicht so. Was du stattdessen zeigen müsstest, sind die beiden Inklusionen.

Abakus smile

05.06.2011, 18:38

Mathenoobika

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Also mein Ansatz hat nun folgendes Bild ergeben:

$\begin{eqnarray*} \left\{ a\right\} \subseteq \left\{ a,a\right\}<br /> Vx:\left\{ x \in\left\{a\right\} \to x \in \left\{ a,a\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Im Folgenden dann auch:

$\begin{eqnarray*} \left\{a,a\right\} \subseteq \left\{a\right\}<br /> Vx: \left\{x \in \left\{a,a\right\} \to x \in \left\{a\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt ja folgendes:

A ist Teilmenge von B und B ist Teilmenge von A

$\begin{eqnarray*} ((Vx: x \in A \to x \in B) \wedge (x \in B \to x \in A)) \Rightarrow Vx: (x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Rightarrow A \equiv B \end{eqnarray*}$

Kann man das so annehmen? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das so nicht ganz stimmt, aber ich kann den Finger nicht darauf legen!

Vielen Dank für weitere Hilfe.

Grüße

Mathenoobika

05.06.2011, 21:43

Karhunen

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Zitat:

Original von Mathenoobika
Also mein Ansatz hat nun folgendes Bild ergeben:

$\begin{eqnarray*} \left\{ a\right\} \subseteq \left\{ a,a\right\} \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} \left\{a,a\right\} \subseteq \left\{a\right\} \end{eqnarray*}$

Wenn du beides gezeigt hast, folgt, dass die beiden Mengen gleich sind. In der Tat (bzw. wenn ich dich richtig verstanden habe Big Laugh

),
musst du zeigen, dass jedes Element von A in B liegt und jedes Element von B in A. Das hast du auch getan.

06.06.2011, 09:57

pseudo-nym

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Ich denke nicht, dass das reicht.

Ziel der Aufgabe scheint es mir zu sein, die Definition von $\begin{eqnarray*} \{a, a\} \end{eqnarray*}$ zu benutzen und die Aussage damit zu beweisen.

Wie auch in Mathenoobika letzem Thread würde vorschlagen, $\begin{eqnarray*} \forall x: (x \in \left\{a,a\right\} \leftrightarrow x \in \left\{a\right\}) \end{eqnarray*}$ in eine $\begin{eqnarray*} L_\in \end{eqnarray*}$ -Formel zu übersetzen und zu zeigen dass es sich um eine Tautologie handelt. Dann folgt die Mengengleichheit tatsächlich unter Anwendung des Extensionalitätsaxioms.

06.06.2011, 10:02

Mathenoobika

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Hmm, nun müsste ich allerdings wissen was eine Le Formel ist, dazu findet sich nichts in meinen Unterlagen.

Vielleicht kann mir da jemand mal ein wenig auf die Sprünge helfen?

Grüße

Mathenoobika :-)

06.06.2011, 10:39

pseudo-nym

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Was für eine Vorlesung hörst du denn da?

$\begin{eqnarray*} L_\in \end{eqnarray*}$ ist eine prädikatenlogische Sprache erster Stufe, die nur ein Symbol, nämlich das $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ enthält.

In dieser Sprache kann man Mengenlehre betreiben. ZF und ZFC, also die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit oder ohne den Wohlordnungssatz ist z.B. eine Menge von Sätzen in $\begin{eqnarray*} L_\in \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} \{ x : \phi(x) \} \end{eqnarray*}$ ein keine echte Klasse ist, dann man den Ausdruck $\begin{eqnarray*} x \in \{ x : \phi(x) \} \end{eqnarray*}$ in einen $\begin{eqnarray*} L_\in \end{eqnarray*}$ -Ausdruck übersetzen, also in eine endliche Zeichenkette, die nur die logischen Grundzeichen und $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ enthält.

06.06.2011, 10:47

Mathenoobika

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Bei unserer Vorlesung handelt es sich um diskrete Mathematik für Informatiker. ZFC bzw. ZF haben wir nicht behandelt. Prädikatenlogik / Prolog jedoch schon. Deswegen ist mir diese Le Form wohl unbekannt.

Ich habe gedacht eine Menge enthält eh keine 2 Gleichen Elemente nach Definition von Cantor hmmm. Da muss ich mir wohl noch ein wenig Tips und Anregungen holen.

(Unser Prof. ist eh kurz vor der Rente und an sich auch nicht im geringsten daran interessiert etwas verständlich darzulegen)

Gruß

Mathenoobika

06.06.2011, 10:59

pseudo-nym

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Hm, unter diesen Umdständen kann ich dir wohl ohne ein Skript nicht weiterhelfen.

Du kannst ja mal bei den Informatikern fragen, oder du vielleicht findet sich hier noch jemand der weiß wie Mengenlehre für Informatiker funktioniert.

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