Grenzwert einer Funktion bestimmen /Substitution

12.12.2006, 18:23

SilverBullet

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Grenzwert einer Funktion bestimmen /Substitution

Hallo habe hier eine Aufgabe und möchste wissen ob ich das einfach so machen kann.

Zunächst einmal die Aufgabe :

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {ln(n)} {\sqrt[n]{x}} \end{eqnarray*}$ für x > 0.
Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt

Nun was ich mir überlegt habe ist das durch Substitution zu lösen.
Wenn ich x durch $\begin{eqnarray*} e^{n k} \end{eqnarray*}$ substituiere erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {n*k} {e^k} \end{eqnarray*}$

Und da die e Funktion schneller als der Zähler wächst müsste das doch so stimmen oder ?

Frage : Muss ich anstelle meines k nicht ein x schreiben ? Ich meine wie soll ich sonst den limes von x gegen unendlich bilden wenn kein x mehr drin ist ?

Argh ist einfach zu lang her mit der Substitution unglücklich

unglücklich

Pls help me !

12.12.2006, 18:26

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Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {ln(n)} {\sqrt[n]{x}} \end{eqnarray*}$ für x > 0.
Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt

Das ist schlicht und einfach falsch:Für $\begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac {\ln(n)} {\sqrt[n]{x}} \end{eqnarray*}$ gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f_n(x) = +\infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

Oder kann es sein, dass du $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}f_n(x) \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ meinst?

12.12.2006, 18:33

SilverBullet

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RE: Grenzwert einer Funktion bestimmen /Substitution
Böse kleine Fehler also nochmal die Aufgabe :
Diesmal mit log anstelle von ln nur um auf Nummer sicher zu gehen.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {log(x)} {\sqrt[n]{x}} \end{eqnarray*}$ für x > 0.
Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt

Nun was ich mir überlegt habe ist das durch Substitution zu lösen.

Sei a die Basis von log !!
Wenn ich x durch $\begin{eqnarray*} a^{n k} \end{eqnarray*}$ substituiere erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {n*k} {a^k} \end{eqnarray*}$

Und da das Polynom schneller wächst als der Nenner ist gezeigt das der Limes für x gegen unendlich 0 ist

Frage : Muss ich anstelle meines k nicht ein x schreiben ? Ich meine wie soll ich sonst den limes von x gegen unendlich bilden wenn kein x mehr drin ist ?

Frage nach dem x bleibt bestehen

12.12.2006, 18:36

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt

Und du bist dir sicher, dass das immer noch nicht

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)=0 \end{eqnarray*}$

heißen soll?!

Gruß MSS

12.12.2006, 18:38

SilverBullet

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Zitat:

Und du bist dir sicher, dass das immer noch nicht

Hammer

Habs editiert Big Laugh

Big Laugh

Das kommt davon wenn man sich den Latex-Code aus Wikipedia kopiert und nicht genau anschaut Big Laugh

Big Laugh

12.12.2006, 18:42

Mazze

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Als dritter im Bunde: Die Regel von L'Hospital ist hier anwendbar da die Ableitungen für alle x > 0 existieren und sowohl Zähler als auch Nenner gegen unendlich streben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit:

Hm da hab ich zu schnell gedacht sieht so aus als ob das nichts bringt.

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12.12.2006, 18:44

AD

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Zitat:

Original von SilverBullet
Und da das Polynom schneller wächst als der Nenner

Welches Polynom? Undwieso schneller als der Nenner? Hier ist ja wohl was völlig vergurkt... Es muss wohl eher so heißen:

Zitat:

Und da die Exponentialfunktion im Nenner schneller wächst als der Zähler

12.12.2006, 18:48

SilverBullet

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HEUL !

Sei a die Basis von log !!
Wenn ich x durch $\begin{eqnarray*} a^{n k} \end{eqnarray*}$ substituiere erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {n*k} {a^k} \end{eqnarray*}$

Und da a^k schneller wächst als n*k muss der Grenzwert für x gegen unendlich 0 sein.

Edit : @Mazze : L´Hospital dürfen wir zudem leider nicht benutzen

12.12.2006, 18:50

Mazze

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Also habs grad durchgerechnet, es geht mit L'Hospital allerdings fällt das nach dem Ableiten nicht sofort vom Himmel.

edit 1:

Schade. Big Laugh

Big Laugh

edit2:

Wenn du x durch irgendwas substituierst ändert sich aber auch f(x). Weil so wie Du es da zustehen hast wäre es eine konstante Funktion deren Grenzwert unabhängig von x ist.

12.12.2006, 18:56

SilverBullet

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Zitat:

Wenn du x durch irgendwas substituierst ändert sich aber auch f(x). Weil so wie Du es da zustehen hast wäre es eine konstante Funktion deren Grenzwert unabhängig von x ist.

Genau das war eigentlich mein Anliegen..
Weiß nicht mehr genau wie das mit der Substitution geht...
hab ja durch a^nk substituiert....
Muss ich es vielleicht doch durch a^nx substituieren ?

Edit : Bin nun ein wenig verwirrt... Bin mir aber sicher das es so klappen muss.

12.12.2006, 19:00

Mathespezialschüler

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Sei $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x=a^{nk} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} k=\frac{\log_ax}{n} \end{eqnarray*}$ , also geht für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ . Sei

$\begin{eqnarray*} g(k)=\frac{nk}{a^k} \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}g(k)=0 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} f(x)=g(k) \end{eqnarray*}$ auch was?
Für $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ analog.

Gruß MSS

12.12.2006, 19:10

SilverBullet

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Nicht übel also da wär ich jetzt nicht so schnell drauf gekommen.

Ne Frage dazu :
Wie bist du darauf gekommen ?

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} x=a^{nk} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} k=\frac{\log_ax}{n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(k) \end{eqnarray*}$

Und deswegen gilt auch lim x gegen unendlich von f(x) = 0.

12.12.2006, 19:13

Mathespezialschüler

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Einfach umgeformt.

$\begin{eqnarray*} x=a^{nk}\quad\Leftrightarrow\quad nk=\log_ax\quad\Leftrightarrow\quad k=\frac{\log_ax}{n} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

12.12.2006, 19:29

SilverBullet

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ahh lol dachte da wär schon was eingesetzt worden ^^

Analog soll es ja für a kleiner gelten aber :

$\begin{eqnarray*} g(k)=\frac{nk}{a^k} \end{eqnarray*}$ .

Da sieht man doch das der Nenner immer kleiner wird während der Zähler langsamm groß wird daher ist der Grenzwert doch unendlich oder ?

12.12.2006, 19:31

Mathespezialschüler

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Nein, ist $\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$ , so geht

$\begin{eqnarray*} k=\frac{\log_ax}{n} \end{eqnarray*}$

gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ . Du musst also $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to -\infty}g(k) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Gruß MSS

12.12.2006, 19:32

AD

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Erinnern wir uns: Du hast substituiert $\begin{eqnarray*} x=a^{nk} \end{eqnarray*}$ .

Ist nun aber $\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ hier gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} k\to -\infty \end{eqnarray*}$ .

Böse Fallen überall... Big Laugh

Big Laugh

EDIT: Bin ich heute wieder langsam. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.12.2006, 19:37

SilverBullet

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Alles klar Leute ich danke euch erst einmal....
Morgen treffe ich mich wieder mit meiner Gruppe dann schreiben wir alles sauber auf..
Würde es euch was ausmachen wenn ich dann morgen die Lösung nochmal komplett und hoffentlich sauber poste, sodass da jmd mal schnell nen flüchtigen Blick drauf wirft ^^ ?

12.12.2006, 19:43

Mathespezialschüler

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Mach ruhig. Wenn du was schreibst, guckt es sich auf jeden Fall jemand an.

Gruß MSS

13.12.2006, 23:56

SilverBullet

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Beh : Der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {ln(n)} {\sqrt[n]{x}} \end{eqnarray*}$ ist 0

Beweis :
Substitution : $\begin{eqnarray*} x = a^{nk} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x=a^{nk} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} k=\frac{\log_ax}{n} \end{eqnarray*}$ , also geht für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ . Sei

$\begin{eqnarray*} g(k)=\frac{nk}{a^k} \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}g(k)=0 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} f(x)=g(k) \end{eqnarray*}$ folgt das auch der Grenzwert von f(x) = 0 ist !

Sei 0 < a < 1

Für $\begin{eqnarray*} x = a^{nk} \text { gilt wieder } k =\frac {log_ax} {n} \end{eqnarray*}$ , also geht für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ dieses mal $\begin{eqnarray*} k\to -\infty \end{eqnarray*}$ .
Sei

$\begin{eqnarray*} g(k)=\frac{nk}{a^k} \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt : $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to -\infty}g(k)=0 \end{eqnarray*}$ und wegen f(x) = g(k) ist somit auch der Grenzwert von f(x) = 0

13.12.2006, 23:58

Mathespezialschüler

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Jup, ist ok so! Bis auf den Schreibfehler oben ...

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\log x}{\sqrt[n]{x}} \end{eqnarray*}$ .

Solltest vielleicht noch irgendwo erwähnen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\frac{k}{a^k}=\lim_{k\to -\infty}\frac{k}{b^k}=0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a>1>b>0 \end{eqnarray*}$ bereits bekannt ist ...

Gruß MSS

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