Glücksrad und der zu erwartende Gewinn

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ale(x) Auf diesen Beitrag antworten »
Glücksrad und der zu erwartende Gewinn
Hallo!

Vorweg: Bitte nur heimlich Lachen, folgende Aufgabe sollte eig. nicht sehr schwierig sein. Offensichtlich stehe ich auf der Leitung.

Angabe
Ein Glücksrad mit 7 Feldern (1 Gewinnfeld, 6 ohne Gewinn, alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit) wird für einen Einsatz von €0,50 zweimal gedreht. Gewinnt man einmal erhält man €1 ausbezahlt, Gewinnt man zweimal erhält man €2 ausbezahlt. Sonst wird nichts ausbezahlt.

a) Mit welchem durchschnittlichen Gewinn kann der Spieler auf lange Sicht rechnen?
b) Mit welchem Gewinn für zweimal Treffer wird das Spiel fair?

Vielleicht lese ich aber auch etwas falsch raus, hier die Angabe als Scan: http://i54.tinypic.com/1570rx0.gif

Ansatz
In Worten:
In der ersten Runde gewinnt man mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/7 €1 und verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von 6/7 €0,50. In der zweiten Runde hat man eine „zusätzliche“ Gewinnchance, erneut 1/7 für den Gewinn von €1.

E(x) = 1/7*€1-0,5€*6/7+1/7*1€

Wobei das +1/7*1€ die zweite Gewinnchance darstellen soll, die 0,50 zahlt man ja nur fürs mitmachen und zweimal drehen.

Das stimmt aber scheinbar nicht (das Ergebnis soll E(x) = -0,2143 sein) was lasse ich außer Acht? Man helfe mir bitte von meiner Leitung.

Liebe Grüße,
Alex
ale(x) Auf diesen Beitrag antworten »

Ich antworte mir selbst:

Der Fehler ist: Der Gewinn in der ersten Runde beträgt nicht €1 sondern maximal €0,50 weil man €0,50 als Einsatz abziehen muss. Dann stimmt das Ergebnis.

Trotzdem bereitet mir der B-Teil noch probleme. Mein Ansatz ist: die Gewinne durch x (oder z, wie oft üblich) zu ersetzen und die Gleichung Null zu setzen. Daraus ergibt sich:



Wobei ich die 0,5 stehen gelassen hätte weil der zu erwartende Gewinn in der ersten Runde ja niedriger ist. Die Frage ist, wie drückt man es richtig aus? Die Lösung sollte €12 sein.

Liebe Grüße,
Alex
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Also Folgendes:
Sei X die Anzahl der Einsen, die geworfen werden, dann ist diese offenbar binomialverteilt.
Bestimme so also P(X=0),P(X=1),P(X=2).

Der Gewinn, den du durchschnittlich bekommst (abzüglich des Einsatzes), ist also

(Gewinn von a bei 2 Einsen)

Nun musst du a so bestimmen dass da oben 0 herauskommt
ale(x) Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort! Dein Ansatz gefällt mir sehr, sehr gut. Den Spieleinsatz am Ende abzuziehen finde ich elegant. Allerdings geht es mir nicht auf.
Der erste Part fällt ja aufgrund des PNS flach. Also:



Sollte eig. das erwartete Ergebnis von E(x) = -0,2143 liefern. Tut es aber nicht, es ergibt -0,3678.

Das erwartete Ergebnis liefert mir nur der primitivere, und darüber hinaus „falsche“ Weg, falsch deshalb weil die Gleichung für das faire Spiel dann nicht stimmt:



In Worten: 0,5 (€1 - Einsatz) gewinne ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/7 abzüglich der Wahrscheinlichkeit von 6/7 dass ich alles verliere + die zusätzliche Gewinnchance von €1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/7. Dann geht mir aber, wie gesagt, die Gleichung nicht auf, die das Spiel fair machen soll. Aber vermutlich habe ich einfach einen Fehler gemacht!

Über einen Wink würde ich mich freuen!

Liebe Grüße,
Alex
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ale(x)
Vielen Dank für deine Antwort! Dein Ansatz gefällt mir sehr, sehr gut. Den Spieleinsatz am Ende abzuziehen finde ich elegant. Allerdings geht es mir nicht auf.
Der erste Part fällt ja aufgrund des PNS flach. Also:



Sollte eig. das erwartete Ergebnis von E(x) = -0,2143 liefern. Tut es aber nicht, es ergibt -0,3678.

Du hast die Wahrscheinlichkeiten falsch berechnet, die Exponenten in der Gleichung stimmen nicht!

Du hast eine Binomialverteilung mit n=2, also bspw

Du hast die Exponenten mit 6 und 1 gewählt, das ist falsch

Man kann die Sache in diesem Falle aber auch einfacher rechnen als

Der Erwartungswert von X lässt sich nach der Formel für Binomialverteilungen berechnen
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