Konstanz holomorpher Funktionen

04.06.2011, 17:10

Gast11022013

Konstanz holomorpher Funktionen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} G\subseteq \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Gebiet und $\begin{eqnarray*} f:G\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph.

Man zeige:

(i) Ist $\begin{eqnarray*} f'=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant.

(ii) Ist $\begin{eqnarray*} f(G)\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(G)\subseteq i\cdot\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant.

(iii) Ist $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ konstant, so auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Zu (i):

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph in G mit $\begin{eqnarray*} f'=0 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} 0=f_x(z)=u_x(z)+i\cdot v_x(z) \end{eqnarray*}$ .
Schreibe $\begin{eqnarray*} f_x:=\partial_x f \end{eqnarray*}$ .

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen:
$\begin{eqnarray*} v_y=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u_y=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$
Damit ist $\begin{eqnarray*} \nabla u=\nabla v=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Bis hierhin ist's mir klar.
Nun habe ich gelesen, folgt $\begin{eqnarray*} u=const,v=const \end{eqnarray*}$ daraus, dass G wegzusammenhängend ist. Das verstehe ich nicht. Wieso folgt das daraus?

Zu (ii):

Es gilt $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ [bzw. $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ] und mit Cauchy-Riemann folgt:
$\begin{eqnarray*} u_x=v_x=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Der Rest folgt mit (i).

Korrekt?

Zu (iii):

$\begin{eqnarray*} f=u+i\cdot v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left(|f|\right)^2=u^2+v^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left(|f|\right)_x^2=2u\cdot u_x+2v\cdot v_x=0 \wedge \left(\left(|f|\right)_y^2=2u\cdot u_y+2v\cdot v_y=0\right) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung einer Konstanten ist ja 0.

Nach Voraussetzung gilt:

$\begin{eqnarray*} u_x=v_y \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} u_y=-v_x \end{eqnarray*}$ .

Hieraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} 2u\cdot u_x-2v\cdot u_y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2u\cdot u_y+2v\cdot u_x=0 \end{eqnarray*}$ .

Analog kann man alles so aufschreiben, dass nur noch Ableitungen von v auftreten.

Wenn man nun die erste Gleichung mit u sowie die zweite Gleichung mit v multipliziert, bekommt man:

$\begin{eqnarray*} 2u^2u_x-2vuu_y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2uvu_y+2v^2u_x=0 \end{eqnarray*}$

Addition dieser beiden Gleichungen liefert anschließend:

$\begin{eqnarray*} 2u^2u_x-2vuu_y+2vuu_y+2v^2u_x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2\cdot (u^2+v^2)\cdot u_x=0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass entweder $\begin{eqnarray*} u^2+v^2 \end{eqnarray*}$ (also der Betrag von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) oder aber $\begin{eqnarray*} u_x \end{eqnarray*}$ gleich Null sind. Damit ist u konstant.

Wie oben bereits erwähnt, kann man das ganze Spielchen nun auch für v machen und kommt dann zu einem analogen Resultat für v.

Insgesamt folgt dann, dass entweder der Betrag von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gleich Null ist (woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Null, also konstant ist) oder es sind u und v konstant, woraus ebenfalls folgt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant ist.

08.06.2011, 13:40

tejubin

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RE: Konstanz holomorpher Funktionen

Zitat:

Original von Dennis2010

Meine Ideen:
Zu (i):

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph in G mit $\begin{eqnarray*} f'=0 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} 0=f_x(z)=u_x(z)+i\cdot v_x(z) \end{eqnarray*}$ .
Schreibe $\begin{eqnarray*} f_x:=\partial_x f \end{eqnarray*}$ .

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen:
$\begin{eqnarray*} v_y=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u_y=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$
Damit ist $\begin{eqnarray*} \nabla u=\nabla v=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Bis hierhin ist's mir klar.
Nun habe ich gelesen, folgt $\begin{eqnarray*} u=const,v=const \end{eqnarray*}$ daraus, dass G wegzusammenhängend ist. Das verstehe ich nicht. Wieso folgt das daraus?

Hallo Dennis, was ist dein $\begin{eqnarray*} f_x(z) \end{eqnarray*}$ ? Du definierst das ja als $\begin{eqnarray*} f_x:=\partial_x f \end{eqnarray*}$ , also die Ableitung der Funktion f nach x, aber was ist dein x? Ich sehe nicht, wo dies in f vorkommt. verwirrt

Könntest Du mir weiterhelfen?

Edit: Oder gehst du stillschweigend davon aus, dass $\begin{eqnarray*} z = x + i \cdot y \end{eqnarray*}$ da ja $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 14:53

tejubin

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RE: Konstanz holomorpher Funktionen

Zitat:

Original von Dennis2010
Bis hierhin ist's mir klar.
Nun habe ich gelesen, folgt $\begin{eqnarray*} u=const,v=const \end{eqnarray*}$ daraus, dass G wegzusammenhängend ist. Das verstehe ich nicht. Wieso folgt das daraus?

Okay, ich versuche mich mal:

Sei vorausgesetzt $\begin{eqnarray*} \nabla u = 0 \end{eqnarray*}$ , also sind alle Richtungsableitungen gleich Null.

Nun gilt laut Mittelwertsatz für ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in G \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} u'(x_0) = \frac{u(b) - u(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ und da ja $\begin{eqnarray*} \nabla u = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 = \frac{u(b) - u(a)}{b-a} \Leftrightarrow u(b) = u(a) \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} a,b \in G \end{eqnarray*}$ beliebig waren, ist u konstant auf G.

Und da somit $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ konstant sind, ist auch f konstant.

08.06.2011, 15:36

tejubin

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RE: Konstanz holomorpher Funktionen

Zitat:

Original von Dennis2010

Zu (ii):

Es gilt $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ [bzw. $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ] und mit Cauchy-Riemann folgt:
$\begin{eqnarray*} u_x=v_x=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Der Rest folgt mit (i).

Korrekt?

Sehe ich genauso smile

Zitat:

Zu (iii):

$\begin{eqnarray*} f=u+i\cdot v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left(|f|\right)^2=u^2+v^2 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du hierauf?

Ist, wenn $\begin{eqnarray*} f=u+i\cdot v \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} \left(|f|\right)^2 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} = |u + i \cdot v|^2 = |u^2 + 2 \cdot u \cdot i \cdot v - v^2| \end{eqnarray*}$ ?

08.06.2011, 16:30

Gast11022013

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Hallo!

Ja, ich ging immer davon aus, dass $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ ist.

Zu Deiner Erklärung mit dem Mittelwertsatz: Danke, das leuchtet mir ein und jetzt verstehe ich auch, wieso da auf Analysis II verwiesen wurde, denn da behandelt man ja i.d.R. den Mittelwertsatz.

Und zu dem Letzten:

Da meinte ich das Quadrat des Betrages der komplexen Zahl. Also:

Wenn $\begin{eqnarray*} z=\alpha+i\cdot \beta\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , so gilt ja:

$\begin{eqnarray*} |z|:=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{\alpha^2+\beta^2} \end{eqnarray*}$ .

08.06.2011, 17:02

tejubin

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Alles klar, dann macht das Sinn, danke!

Also und die zusammenhang-Eigenschaft ist wohl quasi die Absicherung dafür, dass es halt einen Weg von a nach b gibt. smile

08.06.2011, 17:11

Gast11022013

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Das ist mir nochz nicht klar geworden:

Das mit dem Mittelwertsatz habe ich wohl verstanden. Wozu braucht's hier aber überhaupt die Tatsache, dass das Gebiet wegzusammenhängend ist?

08.06.2011, 17:17

Leopold

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$\begin{eqnarray*} G:= \left\{ \, z \in \mathbb{C} \, : \, \left| \operatorname{Re}(z) \right|>1 \, \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f: \, G \to \mathbb{C} \, , \ \ f(z) = \begin{cases} 17 & \mbox{für} \ \operatorname{Re}(z) > 1 \\ -159 & \mbox{für} \ \operatorname{Re}(z) < -1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht konstant, obwohl $\begin{eqnarray*} f'(z) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \in G \end{eqnarray*}$ gilt.

08.06.2011, 17:34

Gast11022013

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Das Beispiel soll vermutlich zeigen, dass man den Wegzusammenhang braucht.

Man muss zwischen allen Punkte in G einen Weg ziehen können, damit die Funktion konstant sein kann.

Und man kann es in diesem Beispiel nicht.

G umfasst doch hier alle komplexen Zahlen z, für die gilt, dass der Betrag des Realteils größer als 1 ist. Und wenn man jetzt zum Beispiel alle Punkte, für die 17 herauskommt und alle Punkte, für die -159 herauskommt, nimmt, so kann man keinen Weg bilden zwischen Punkten auf den beiden Geraden, weil ja der Teil um die y-Achse herum nicht in dem Gebiet enthalten ist. Und dann kann die Funktion nicht konstant sein bzw. nicht durchgängig konstant sein auf ganz G, nur in "Teilbereichen".

Also braucht man auch den Wegzusammenhang des Gebiets.

Ich hoff' mal, ich hab das so richtig kapiert.

08.06.2011, 17:38

Leopold

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Wenn ein topologischer Raum zusammenhängend ist, dann folgt aus lokaler Konstanz globale Konstanz.

08.06.2011, 17:40

Gast11022013

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Achso und hier folgt aus lokaler Kontanz deswegen keine globale Konstanz, weil G nicht wegzusammenhängend ist?

08.06.2011, 17:42

Leopold

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Das ist ein Beispiel dafür, daß man bei nicht zusammenhängenden Räumen nicht auf die globale Konstanz schließen kann.

08.06.2011, 17:48

Gast11022013

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Ja, so meinte ich das.

Lokal kann Konstanz herrschen, aber nicht global.

Und in der Aufgabenstellung steht ja, dass f konstant sein soll, womit man vermutlich globale Konstanz meint.

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