Populationsmatrix/Entwicklung einer Tierart

04.06.2011, 18:58

sven31091

Populationsmatrix/Entwicklung einer Tierart

Hallo Leute!

Schreibe am Montag eine Matheklausur über LGS und Matrizen, unter anderem mit der Anwendung bei der Materialverflechtung und halt auch bei der Populationsmatrix.

Habe hier eine Aufgabe, komme aber beim letzten Schritt nicht weiter. Die lösung der Aufgabe besitze ich, aber wie gesagt, weiß ich nicht wie ich da hinkomme.
ich weiß jetzt nicht, wie man Matrizen hier richtig anzeigen kann, aber ich versuch es einfach deutlich darzustellen:

Aufgabe: Es gibt eine Populationsmatrix T= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für welchen Wert von a gibt es eine Population, die sich jährlich wiederholt? Bestimmen Sie die Altersverteilung in dieser stationären Population, wenn sie insgesamt 2600 Tiere umfasst.

Also das a zu berechnen ist ja einfach. Die Formel lautet ja $\begin{eqnarray*} T\cdot \vec{x} = \vec{x} \end{eqnarray*}$ Man kann dann ein LGS aufstellen und am Ende nach a auflösen. Es kommt dann raus: $\begin{eqnarray*} a= \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

So und jetzt komme ich halt eben nicht mehr weiter. Jetzt muss ich ja rausfinden, in welchem Stadium wieviele Tiere sind.
Mein Ansatz dazu: $\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2600 \end{eqnarray*}$

In meiner Lösung steht nur $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 8t \\ 4t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
t=200
Wo kommt die Variable her und die Koeffizienten vor den Variablen? Konnte bisher immer alle Aufgaben zu den Zyklischen Prozessen lösen, aber hier habe ich iwie eine Denkblockade unglücklich

Die Endlösung ist übrigens: A1 (erstes Stadium) = 1600, A2= 800, und A3= 200, aber kann mir den Weg halt nicht herleiten...

Freue mich über jede Hilfe! smile

04.06.2011, 19:13

Bjoern1982

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Naja für a=0,25 entsteht ja eine ganz bestimmte (allgemeine) Lösungsmenge, welche du zunächst erstmal bestimmen solltest.

04.06.2011, 22:41

sven31091

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Naja für a=0,25 entsteht ja eine ganz bestimmte (allgemeine) Lösungsmenge, welche du zunächst erstmal bestimmen solltest.

Könntest du das vielleicht noch einmal näher erläutern?

04.06.2011, 22:59

Bjoern1982

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Um auf den Wert für a zu kommen musstest du vorher ja dein LGS auf Zeilenstufenform gebracht haben.
Für a=0,25 würde dann eine ganze Nullzeile entstehen, was zur Folge hat, dass nur dann auch wirklich andere Lösungen außer der Null-Lösung entstehen.
Das damit also nur noch aus 2 Gleichungen bestehende LGS gilt es dann zunächst mal allgemein zu lösen bzw die Lösungsmenge allgemein anzugeben.

05.06.2011, 12:38

sven31091

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Um auf den Wert für a zu kommen musstest du vorher ja dein LGS auf Zeilenstufenform gebracht haben.
Für a=0,25 würde dann eine ganze Nullzeile entstehen, was zur Folge hat, dass nur dann auch wirklich andere Lösungen außer der Null-Lösung entstehen.
Das damit also nur noch aus 2 Gleichungen bestehende LGS gilt es dann zunächst mal allgemein zu lösen bzw die Lösungsmenge allgemein anzugeben.

Ah bei mir ist die Zeile nicht ganz Null gewesen, da ich einen Vorzeichenfehler drinne hatte, kein Wunder das ich verzweifelt bin. Aber vielen Dank für die Hilfe, manchmal hat man einfach ein Brett vorm Kopf smile

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