Beweis der Linearen Unabhängigkeit gelöst

12.12.2006, 18:36	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Linearen Unabhängigkeit gelöst Sei K ein Körper und V,W K-Vekorräume und f : V --> W eine injektive lineare Abbildung. Sei $\begin{eqnarray} \{ x_1,...,x_n\} \end{eqnarray}$ Teilmenge von V linear unabhängig. Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray} \{ f(x_1),...,f(x_n)\} \end{eqnarray}$ linear unabhängig ist. Mein Beweis: Da $\begin{eqnarray} \{ x_1,...,x_n\} \end{eqnarray}$ lin. unabh. existiert ein $\begin{eqnarray} a_1 ... a_n \in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_i=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall i \end{eqnarray}$ ! $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~a_ix_i=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(\sum_{i=1}^n~a_ix_i=0) = f(0) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} linear : \sum_{i=1}^n~a_if(x_i)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => \{ f(x_1),...,f(x_n)\} unab. \end{eqnarray*}$ Was mich stört ist die Tatsache dass ich die Vor. der Injektivität garnicht benutzt habe ... Wär schön wenn sich das jmd. anschauen könnte. Danke im Vorraus!
12.12.2006, 19:09	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität für lineare Abbildungen bedeutet das nur die Null auf die Null abgebildet wird. Allerdings hast Du die Kausalitäten etwas verdreht Du solltest so anfangen: Wir wollen zeigen das die $\begin{eqnarray} f(x_i) \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind also: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~a_if(x_i)=0 \Leftrightarrow a_i = 0 \end{eqnarray}$ jetzt benutzten wir die linearität: $\begin{eqnarray} f(\sum_{i=1}^n~a_ix_i)=0 \end{eqnarray}$ Und weil f injektiv ist dürfen folgern wir das $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~a_ix_i = 0 \end{eqnarray*}$ Rest ist klar denk ich .
12.12.2006, 19:21	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
okay erstmal danke! Also würde der Beweis so stimmen: z.z.: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~a_if(x_i)=0 \Leftrightarrow a_i = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~a_if(x_i)=0 \Leftrightarrow lin: f(\sum_{i=1}^n~a_ix_i)=0 \Leftrightarrow injek: \sum_{i=1}^n~a_ix_i=0 \end{eqnarray}$ da nun nach Vorraussetzung gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~a_ix_i=0 \Leftrightarrow a_i = 0 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~a_if(x_i)=0 \Leftrightarrow a_i = 0 \end{eqnarray}$ und warum geht es nicht in meiner Benutzen richtung? So haben wir z.b. in der Vorlesung den Fall für linear abhängig bewiesen...
12.12.2006, 19:25	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Fehler liegt im letzten Schritt also: $\begin{eqnarray} linear : \sum_{i=1}^n~a_if(x_i)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => \{ f(x_1),...,f(x_n)\} unab. \end{eqnarray}$ Das geht nur wenn f injektiv ist. Wenn zum Beispiel $\begin{eqnarray} f(x_i) = f(x_j) \\| i \neq j \end{eqnarray*}$ wäre, dann wählst Du n-2 koeffizienten Null einen 1 und den anderen -1. Die Vektoren wären dann linear abhängig. Für diesen Schritt brauchst Du die Injektivität. Ansonsten
12.12.2006, 19:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei linearer Abhängigkeit sind eigentlich fast alle Richtungen immer genau auf umgekehrtem Wege zu zeigen als bei der linearen Unabhängigkeit, weil dies eben genau entgegengesetzte Aussagen sind. Jetzt stimmt dein Beweis übrigens. Gruß MSS
12.12.2006, 19:27	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
prima! Danke euch beiden!
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