Beweis einer Ungleichung mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung

04.06.2011, 21:11

cybersepp

Beweis einer Ungleichung mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung

Meine Frage:
Hallo @ all,

ich habe noch meine Probleme mit dem Mittelwertsatz (MWS), bzw. wie man damit umgeht (vor allem mit dem abschätzen etc.).

Folgende Aufgabe:

ln(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x - 1 für x > 0

Kann mir vielleicht jemand erklären wie man da vorgeht!
Für jede Hilfe wäre ich dankbar!

Meine Ideen:
Ich bestimmte:

f(x) = ln(x) (hier stellt sich mir die Frage, kann ich das immer einfach so machen, wenn die Gleichung aus zwei Termen besteht, dass ich dann immer den Kleineren als f(x) bestimmt (rein aus Interesse, könnte ich auch den rechten Term (x-1) nehmen?)

Dann benutze ich die MWS Formel:
$\begin{eqnarray*} f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$
Für b bestimmte ich x
und für a bestimmte ich 1 (da 0 nicht definiert ist) und erhalte:

$\begin{eqnarray*} f'(\xi) = \frac{f(x) - f(1)}{x -1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(\xi) = \frac{ln(x) - 0}{x - 1} = \frac{1}{\xi} \end{eqnarray*}$

Nun führt man eine Fallunterscheidung durch (da auch der Wert von 0 bis 1 "überprüft" werden muss)

Hier haperts jetzt extrem bei mir:

laut meiner Lösung rechnet man für 0 < x < 1:
Da x - 1 < 0 und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ < 1 ist, erhalten wir
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(x)}{x-1} = \frac{1}{\xi} > 1 \end{eqnarray*}$ <-> ln(x) < x-1
und haben für diesen Fall die Behauptung gezeigt.

WIESO???

1) Wieso macht man hier > 1 ? (weil das die Ableitung vom "rechten Term", x-1 ist?

2) WIeso folgt aus dem, dass ln(x) < x-1 ????

Wenn ich das weiß / versteh, probier ich mich am zweiten Fall (x > 1).

Ich wär euch sehr verbunden für Hilfe, oder Tipps!

04.06.2011, 21:48

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du von einer positiven Zahl $\begin{eqnarray*} \xi < 1 \end{eqnarray*}$ das Reziproke bildest, erhältst du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\xi} > 1 \end{eqnarray*}$ , also gilt erstmal $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(x)}{x-1} > 1 \end{eqnarray*}$ .

Anschließend multiplizierst du diese Ungleichung mit der negativen Zahl $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ , dann kehrt sich das Relationszeichen > der Ungleichung um in < , also ist $\begin{eqnarray*} \ln(x) < x-1 \end{eqnarray*}$ .

04.06.2011, 23:52

cybersepp

Auf diesen Beitrag antworten »

ACHSO, das ergibt Sinn! Also hat die 1, gar nichts mit dem Rechten Term, bzw. dessen Ableitung (x-1) zu tun!?

Eine letzte Frage hätte ich noch:
Woher weiß ich, dass ich als f(x) = ln(x) bestimmt (kann ich das immer einfach so machen, wenn die Gleichung aus zwei Termen besteht, dass ich dann immer den Kleineren als f(x) bestimmt (rein aus Interesse, könnte ich auch den rechten Term (x-1) nehmen?)

Ich sehe grad, Du hast mir auch bei der anderen Frage zum Mittelwertsatz geholfen, vielen Dank noch mal!

05.06.2011, 12:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cybersepp
Woher weiß ich, dass ich als f(x) = ln(x) bestimmt (kann ich das immer einfach so machen, wenn die Gleichung aus zwei Termen besteht, dass ich dann immer den Kleineren als f(x) bestimmt (rein aus Interesse, könnte ich auch den rechten Term (x-1) nehmen?)

Ehrlich gesagt gelingt es mir in keinster Weise, Inhalt und Sinn dieses Satzes zu erfassen. unglücklich

05.06.2011, 12:14

Huy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe davon aus, dass cybersepp sich danach erkundigt, ob man zum Beweis jeglicher Ungleichung einfach den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf den kleineren Term anwenden kann. Die Antwort darauf wäre trivialerweise "nein"...

MfG

05.06.2011, 21:44

cybersepp

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich gehe davon aus, dass cybersepp sich danach erkundigt, ob man zum Beweis jeglicher Ungleichung einfach den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf den kleineren Term anwenden kann.

Genau das habe ich gemeint. Leider konnte ich das nicht gescheid ausdrücken.

Aber wenn die Antwort "Nein" ist, woher weiß ich dann auf welchen Term ich den Mittelwertsatz anwende?

Neue Frage »

Antworten »

Beweis einer Ungleichung mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung

Verwandte Themen